Ділення розрядного числа на розрядне
Прийом укрупнення розрядних одиниць.
-
Замінюю кожне число однаковими більш крупними розрядними одиницями.
-
Ділю числа розрядних одиниць, в результаті отримую відлучене число.
80 : 20 = 8 дес. : 2 дес. = 4
800 : 200 = 8 сот. : 2 сот. = 4
800 : 20 = 80 дес. : 2 дес. = 40
Отже, учня виконують ділення розрядного числа на розрядне двома способами: способом послідовного ділення і способом випробування. Треба зазначити, що існує ще третій спосіб міркування на підставі прийому укрупнення розрядних одиниць:
В результаті ділення чисел розрядних одиниць ми отримуємо відлучено число, тому що тут має місце ділення на вміщення ( 8 десятків ми ділимо по 2 десятки, отримуємо 4 рази міститься по 2 десятки у 8 десятках).
Познайомити учнів з цим способом обчислення було б логічно, тому що вони вже застосовували прийом укрупнення розрядних одиниць при множенні і діленні розрядного числа на одноцифрове число.
Множення суми на число і числа на суму.
Множення двоцифрового та трицифрового числа на одноцифрове.
Множення виду 24 * 3, 4 * 21, 320 * 3.
Спочатку вводиться правило множення суми на число на підставі розв’язання задачі двома способами:
Дівчинка складала букети. Для кожного букета вона брала 3 білих і 2 червоних квітки. Скільки всього квіток в 7 букетах?
Розв’язання.
1 спосіб 2 спосіб
( 3 + 2 ) * 7 = 35 ( кв.) 3 * 7 + 2 * 7 = 35 ( кв.)
Відповідь: 35 квіток.
Потім за даним розв’язком учням пропонується пояснити, як помножили сума на число:
( 4 + 3 ) * 9 = 7 * 9 = 63.
Цей спосіб міркування можна проілюструвати на наочності:
Користуючись дидактичним матеріалом пропонуємо учням відшукати інший спосіб обчислення значення даного виразу:
-
спочатку дізнаємося, скільки чорних кружків ( 4 * 9);
-
потім дізнаємося скільки білих кружків ( 3 * 9);
-
і нарешті дізнаємося, скільки всього кружків ( 4 * 9 + 3 * 9)
На дошці з’являється запис:
( 4 + 3 ) * 9 = 4 * 9 + 3 * 9 = 63
Аналізуємо отриманий запис. Щоб обчислити значення добутку другим способом, кожний доданок помножили на число і додали отримані добутки. Висновок:
Щоб помножити суму на число, можна помножити на це число кожний доданок і отримані добутки додати.
( 4 + 3 ) * 9 = 4 * 9 + 3 * 9 = 63
Закріплення правила множення суми на число здійснюється на завданнях типу:
-
Обчисліть результат різними способами: ( 3 + 7 ) * 4 .
-
Обчисліть результат зручним способом: ( 10 + 2 ) * 8.
-
Замініть суму добутків добутком суми і числа: 5 * 7 + 5 * 4
Міркування6 число 5 беремо доданком 7 разів, а потім це число беремо доданком ще 4 рази, всього ( 7 + 4 ) разів, можна записати: 5 * 7 + 5 * 4 = 5 * ( 7 + 4 ).
Аналогічно вводиться правило множення числа на суму і правило ділення суми на число ( в наступній темі.)
Можлива помилка – змішування двох властивостей: додавання суми до числа і множення суми на число. З метою її попередження доцільно порівнювати відповідні приклади:
(7 + 2 ) + 3 = (7 + 3) + 2 = 10 + 2 = 12 та ( 7 + 2 ) * 3 = 7 * 3 + 2 * 3 = 21 + 6 = 27 , пропонувати завдання “ продовжити запис”:
8 * ( 10 + 2 ) = 8 * 10 + .... 8 + ( 10 + 2 ) = ( 8 + 2 ) + ...
Додаючи число до суми, додаємо до нього один із доданків, і до отриманого результату додаємо інший доданок. При множенні числа на суму, множимо число на кожний доданок і отримані добутки додаємо.
В наступному навчанні правило множення суми на число застосовується при множенні двоцифрового числа на одноцифрове число. На підготовчому етапі слід актуалізувати уміння:
-
подавати число у вигляді суми розрядних доданків;
-
множити суму на число;
-
множити розрядне число на одноцифрове число;
Ознайомлення може здійснюватися дедуктивно: учням пропонується зразок дій з повною ООД.
Пам’ятка
Множення двоцифрового числа на одноцифрове число.
Прийом на підставі правила множення суми на число.
-
Подаю двоцифровий множник у вигляді суми розрядних доданків.
-
Множу кожний доданок на число.
-
Додаю отримані добутки.
24 * 3 = ( 20 + 4 ) * 3 = 20 * 3 + 4 * 3 = 60 + 12 = 72.
Ознайомлення можна засобом конкретно-індуктивної методики:
- Знайди добутки зручним способом: ( 10 + 2 ) * 4 ( 30 + 7 ) * 2 ( 40 + 1 ) * 2.
- Порівняйте дані добутки з попередніми: 12 * 4 37 * 2 41 * 2.
-
Чим вони схожі? ( В кожній парі однакові другі множники.)
-
Чим вони відрізняються? (В перших прикладах пари перший доданок поданий сумою, а в других прикладах – це двоцифрове число.)
-
Як ми міркували, обчислювавши значення перших добутків кожної пари?
-
Чи можна так само міркувати при обчислюванні значень других добутків? Що спочатку треба зробити? ( Спочатку двоцифровий множник треба подати у вигляді суми розрядних доданків.)
-
Обчисліть значення других добутків.
-
Як треба міркувати? Що зробимо першим кроком, другим кроком, третім кроком.
-
Прочитайте пам’ятку.
Далі вводиться правило множення числа на суму, обчислюються значення добутків двома способами та зручним способом.
Щоб помножити число на суму, можна помножити число на кожний доданок і отримані результати додати.
Після цього діти знайомляться з множенням одноцифрового числа на двоцифрове на підставі застосування переставної властивості дії множення:
3 * 28 = 28 * 3 = ( 20 + 8 ) * 3 = 20 * 3 + 8 * 3 = 60 + 24 = 84
-
Пам’ятка
Множення одноцифрового числа на двоцифрове число.
Прийом на підставі правила множення числа на суму.
-
Подаю двоцифровий множник у вигляді суми розрядних доданків.
-
Множу число на кожний доданок.
-
Додаю отримані добутки.
3 * 24 = 3 * ( 20 + 4 ) = 3 * 20 + 3 * 4 = 60 + 12 = 72.
Далі опрацьовуємо уміння множити кругле число на одноцифрове способом на підставі укрупнення розрядних одиниць:
320 * 3 = 32 дес. * 3 = 96 дес. = 960
і вводимо новий спосіб обчислювання – на підставі правила множення суми на число:
320 * 3 = ( 300 + 20 ) * 3 = 300 * 3 + 20 * 3 = 9000 + 60 = 960
Цей спосіб міркування також знайомий учням, вони повинні перенести його на випадок множення трицифрового числа на одноцифрове.
Ділення суми на число.
Ділення двоцифрового числа на одноцифрове. Ділення виду 39 : 3 , 72 : 6.
На першому уроці вводиться і опрацьовується правило ділення суми на число:
Щоб розділити суму на число, можна розділити на це число кожний доданок і отримані частки додати.
Методика роботи аналогічна методиці введення і опрацювання правила множення суми на число.
В діленні двоцифрового числа на одноцифрове виділяються два випадки:
-
Коли ділене замінюють сумою розрядних доданків, тобто кожний з них ділиться на дільник.
-
Коли ділене замінюють сумою зручних доданків, кожний з яких ділиться на дільник.
На другому уроці діти знайомляться з випадком ділення двоцифрового числа на одноцифрове, на підставі правила ділення суми на число, коли ми ділене замінюємо сумою розрядних доданків.
Методика ознайомлення . Учням пропонується спочатку обчислити значення частки ( 30 + 9 ) : 3, а потім з’ясувати , як попередні обчислення можна застосувати для знаходження частки чисел 39 та 3. Далі надається зразок дій і повна орієнтувальна основа. Діти вчаться застосовувати її при розв’язуванні прикладів.
Пам’ятка А.
Ділення двоцифрового числа на одноцифрове число.
Прийом на підставі ділення суми на число.
-
Замінюю ділене сумою розрядних доданків.
-
Ділю кожний доданок суми на число.
-
Додаю отримані частки.
39 : 3 = ( 30 + 9 ) : 3 = 30 : 3 + 9 : 3 = 10 + 3 = 13
На наступному уроці вводиться новий випадок ділення двоцифрового числа на одноцифрове, коли ділене треба подати у вигляді суми зручних доданків.
На підготовчому етапі слід актуалізувати уміння:
-
виділяти двоцифрові розрядні числа, які можна розділити на 2 ( 20, 40, 60, 80), на 3 ( 30, 60, 90 ) й тощо;
-
подавати число різними способами у вигляді суми двох доданків, кожне із яких ділиться на певне число; заміняти число сумою зручних доданків;
-
ділити суму на число;
Ознайомлення з новим випадком ділення двоцифрового числа на одноцифрове треба розпочати з створення проблемної ситуації:
-
Знайдіть значення частки чисел 36 та 3.
-
Як треба міркувати?
-
Чи можна так само міркувати при знаходженні значення частки чисел 42 і 3? ( Не можна, якщо число 42 подамо у вигляді суми розрядних доданків 40 і 2, але 40 на 3 не ділиться і 2 на 3 не ділиться.)
-
Таким чином, що ж нас не влаштовує? ( Ділене 42 не треба заміняти сумою розрядних доданків.)
-
А якою сумою треба замінити ділене 42? ( Сумою таких чисел, кожне з яких ділиться на дільник.) Така сума називається сумою зручних доданків.
-
Замініть ділене 42 сумою зручних доданків і виконайте ділення.
42 : 3 = ( 30 + 12 ) : 3 = 30 : 3 + 12 : 3 = 10 + 4 = 14
42 : 3 = ( 27 + 15 ) : 3 = 27 : 3 + 25 : 3 = 9 + 5 = 14
42 : 3 = ( 24 + 18 ) : 3 = 24 : 3 + 18 : 3 = 8 + 6 = 14
-
Розкажіть як треба міркувати. Що треба зробити першим кроком? Другим кроком? Третім кроком?
Пам’ятка Б.
Ділення двоцифрового числа на одноцифрове.
Прийом оснований на діленні суми на число.
-
Замінюю ділене сумою зручних доданків.
-
Ділю кожний доданок на дільник.
-
Додаю отримані частки.
42 : 3 = ( 30 + 12 ) : 3 = 30 : 3 + 12 : 3 = 10 + 4 = 14
Треба звернути увагу учнів на підбір зручних доданків: зручно, щоб при діленні першого доданка на число ми отримували 10 або 20 або будь-яке кругле число. Тому при підборі зручних доданків, треба міркувати так: перший доданок – це дільник, збільшений в 10 або в 20 або 30... разів, а другий доданок – це те, що лишається від діленого.
В наступному навчанні розглядаються випадки ділення розрядного числа на одноцифрове, коли не можна застосувати спосіб укрупнення розрядних одиниць. В цих випадках міркуємо , використовуючи прийом ділення суми на добуток:
50 : 2 = ( 40 + 10 ) : 2 = 40 : 2 + 10 : 2 = 20 + 5 = 25
Уміння виконувати ділення в усіх перелічених випадках закріплюються на підставі виконання завдань:
-
Закінчити обчислення: 81 : 3 = ( 60 + 21 ) : 3 =...
-
Виконати ділення, розклавши ділене на зручні доданки: 96 : 2, 90 : 5.
Перевірка ділення і множення.
Ділення двоцифрового числа на двоцифрове. Ділення виду 64 : 16, 125 : 25.
Спочатку вводиться правило перевірки ділення. Міркування здійснюються наступним чином.
Ділене дорівнює добутку частки і дільника. Отже, якщо після множення частки на дільник не отримали ділене, то в обчисленнях припущено помилку.
Учні вчаться перевіряти ділення множенням, наприклад:
84 : 6 = 14, 14 * 6 = 84 – в результаті множення частки на дільник отримали ділене, таким чином ділення виконано вірно.
Потім вводиться перевірка множення. Міркування здійснюються наступним чином:
Якщо добуток поділити на один із множників, то отримаємо інший множник.
Отже, якщо після ділення добутку на один із множників не отримали інший множник, то в обчисленнях припущено помилку.
Учні вчаться перевіряти множення діленням, наприклад:
18 * 5 = 90, 90 : 5 = 18 – в результаті ділення добутку на другий множник, отримали першій множник; отже множення виконано вірно.
360 : 3 = 36 дес. : 3 = 12 дес. = 120
Далі учні зустрічаються з новим випадком ділення розрядного числа на одноцифрове, коли в частці отримаємо двоцифрове число десятків. Міркування здійснюється за відомою пам’яткою, засобом прийому укрупнення розрядних одиниць:
Ознайомлення з діленням двоцифрового числа на двоцифрове число здійснюється способом випробування. Треба зазначити, що з способом випробування діти познайомились при вивченні ділення розрядного числа на розрядне число, тому відомий їм спосіб міркування треба перенести в нову ситуацію:
-
Знайдіть значення частки способом випробування: 80 : 20.
-
Як ми міркували? ( Розділити 80 на 20 – це означає знайти таке число, яке при множенні на 20 дає 80. Будемо шукати його способом проб: спробуємо число 2, помножимо 2 на дільник, порівняємо результат з діленим .....)
-
Чи можна так само міркувати при обчислюванні частки чисел 64 та 16? ( Можна. 64 поділити на 16 – це означає знайти таке число, яке при множенні на 16 дає 64. Це число будемо шукати випробуванням. Починаємо випробувати числа, починаючи з 2...)
В рамках даної теми існує можливість познайомити учнів з більш раціональним способом проб, застосовуючи прикидку:
51 : 17 = , * 17 = 51
*
Прикидка: шукаємо таке число, яке при множенні на одиниці дільника, 7, дає результат, що закінчується одиницями діленого, 1. При множенні 3 на 7 в результаті отримаємо число 21, воно закінчується 1. Чи є інші такі числа? ( Ні.) Випробуємо лише число 3: 3 * 17 = 51. Висновок: 3 – є часткою чисел 51 та 17.
Пам’ятка
Ділення двоцифрового числа на двоцифрове число.
Спосіб випробування з прикидкою.
-
Розділити число а на число в, означає знайти таке число с, яке при множенні на дільник в, дає ділене а.
а : в = с , тому що с * в = а
*
-
Це число будемо знаходити випробуванням, застосовуючи прикидку:
-
шукаю таке число, яке при множенні на одиниці дільника дає одиниці діленого; записую його;
-
думаю, чи є ще такі числа; записую їх.
-
випробую множенням всі записані числа.
-
Роблю висновок.
64 : 16 = , * 16 = 64
*
4, 9
4 * 16 = 64, 64 = 64
64 : 16 = 4, тому що 4 * 16 = 64
Треба зазначити, що діленні двоцифрового числа на двоцифрове можна здійснювати способом послідовного ділення. Ми вже виконували такі завдання при вивченні правила ділення числа на добуток ( див. Тему “Ділення числа на добуток. Ділення розрядного числа на розрядне”.)
64 : 16 = 64 : ( 8 * 2 ) = (64 : 8) : 2 = 8 : 2 = 4
Тут треба звернути увагу, на подання дільника у вигляді добутку зручних множників: першим повинно бути найбільше число, на яке ділиться дільник за таблицями ділення.
Ділення з остачею.
Конкретний зміст ділення з остачею розкривається при розв’язуванні задач на ділення на вміщення та на рівні частини, за допомогою операцій з предметами: учні впевнюються, що не завжди можна виконати розбиття множини на рівно чисельні підмножини, і що в таких випадках операція розбиття пов’язується з дією ділення з остачею.
Задача. 20 кольорових олівців дівчинка поставила в склянки, по 6 олівців у кожну. Скільки дівчинка отримала склянок з олівцями.
Це задача на конкретний зміст дії ділення на вміщення, тому учні відразу можуть записати її розв’язання наступним чином: 20 : 6. Але знайти значення цієї частки вони не можуть, тому що не існує такого числа, яке при множенні на 6 дає 20. Складається проблемна ситуація. Вчитель пропонує її вирішення засобом практичних дій:
-
Скільки потрібно взяти олівців, щоб покласти в першу склянку? ( 6) Візьміть 6 олівців і покладів їх в першу склянку.
-
Чи всі олівці ми розклали? (Ні, не всі.)
-
Візьміть ще стільки олівців, щоб покласти у другу склянку. Скільки потрібно взяти олівців? ( 6) Беремо 6 олівців і кладемо у другу склянку.
-
Чи всі олівці ми розклали? (Ні, не всі.)
-
Візьміть ще стільки олівців, щоб покласти у третю склянку. Скільки потрібно взяти олівців? ( 6) Беремо 6 олівців і кладемо у третю склянку.
-
Чи всі олівці ми розклали? (Ні, залишилося 2 олівці.) Чи можна їх покласти у четверту склянку? ( Ні, тому що треба розкладати по 6 олівців у кожну склянку, а тут лише 2.)
-
Скільки ми отримали склянок з олівцями? ( Три склянки по 6 олівців в кожній.)
-
Скільки олівців залишилося? (Залишилося 2 олівці.)
-
Розв’язання цієї задачі можна так: 20 : 6 = 3 ( ост. 2) – ми виконали ділення з остачею, тут : 20 – ділене, 6 – дільник, 3 – частка, 2 – остача. Цей запис читають так: 20 розділити по 6, в частці буде 3 і в остачі 2.
Після ознайомлення з дією ділення з остачею учні виконують ділення з остачею, спираючись на практичні дії:
17
17 : 3
Порівнюючи приклади на ділення націло і ділення з остачею:
12 : 3 = 4 16 : 4 = 4 10 : 5 = 2
13 : 3 = 4 ( ост 1) 18 : 4 = 4 (ост. 2) 13 : 5 = 2 ( ост. 3)
учні дістають висновку: в остачі отримуємо число, яке показує на скільки ділене більше за число, яке ділиться на дільник націло, а в частці отримуємо те ж саме число, що й при діленні націло.
На другому уроці учні знайомляться з алгоритмом ділення з остачею:
Пам”ятка
|