Математика в 3-му класі

Ділення розрядного числа на розрядне

1. 
   Замінюю кожне число однаковими більш крупними розрядними одиницями.
   
2. 
   Ділю числа розрядних одиниць, в результаті отримую відлучене число.
   

80 : 20 = 8 дес. : 2 дес. = 4

800 : 200 = 8 сот. : 2 сот. = 4

800 : 20 = 80 дес. : 2 дес. = 40

Отже, учня виконують ділення розрядного числа на розрядне двома способами: способом послідовного ділення і способом випробування. Треба зазначити, що існує ще третій спосіб міркування на підставі прийому укрупнення розрядних одиниць:

В результаті ділення чисел розрядних одиниць ми отримуємо відлучено число, тому що тут має місце ділення на вміщення ( 8 десятків ми ділимо по 2 десятки, отримуємо 4 рази міститься по 2 десятки у 8 десятках).

Познайомити учнів з цим способом обчислення було б логічно, тому що вони вже застосовували прийом укрупнення розрядних одиниць при множенні і діленні розрядного числа на одноцифрове число.
Множення суми на число і числа на суму.

Множення двоцифрового та трицифрового числа на одноцифрове.

Множення виду 24 * 3, 4 * 21, 320 * 3.
Спочатку вводиться правило множення суми на число на підставі розв’язання задачі двома способами:

Дівчинка складала букети. Для кожного букета вона брала 3 білих і 2 червоних квітки. Скільки всього квіток в 7 букетах?

Розв’язання.

1 спосіб 2 спосіб

( 3 + 2 ) * 7 = 35 ( кв.) 3 * 7 + 2 * 7 = 35 ( кв.)

Відповідь: 35 квіток.

Потім за даним розв’язком учням пропонується пояснити, як помножили сума на число:

( 4 + 3 ) * 9 = 7 * 9 = 63.

Цей спосіб міркування можна проілюструвати на наочності:

Користуючись дидактичним матеріалом пропонуємо учням відшукати інший спосіб обчислення значення даного виразу:

1. 
   спочатку дізнаємося, скільки чорних кружків ( 4 * 9);
   
2. 
   потім дізнаємося скільки білих кружків ( 3 * 9);
   
3. 
   і нарешті дізнаємося, скільки всього кружків ( 4 * 9 + 3 * 9)
   

( 4 + 3 ) * 9 = 4 * 9 + 3 * 9 = 63

Аналізуємо отриманий запис. Щоб обчислити значення добутку другим способом, кожний доданок помножили на число і додали отримані добутки. Висновок:

Щоб помножити суму на число, можна помножити на це число кожний доданок і отримані добутки додати.

1. 
   Обчисліть результат різними способами: ( 3 + 7 ) * 4 .
   
2. 
   Обчисліть результат зручним способом: ( 10 + 2 ) * 8.
   
3. 
   Замініть суму добутків добутком суми і числа: 5 * 7 + 5 * 4
   

Аналогічно вводиться правило множення числа на суму і правило ділення суми на число ( в наступній темі.)

Можлива помилка – змішування двох властивостей: додавання суми до числа і множення суми на число. З метою її попередження доцільно порівнювати відповідні приклади:

(7 + 2 ) + 3 = (7 + 3) + 2 = 10 + 2 = 12 та ( 7 + 2 ) * 3 = 7 * 3 + 2 * 3 = 21 + 6 = 27 , пропонувати завдання “ продовжити запис”:

8 * ( 10 + 2 ) = 8 * 10 + .... 8 + ( 10 + 2 ) = ( 8 + 2 ) + ...

Додаючи число до суми, додаємо до нього один із доданків, і до отриманого результату додаємо інший доданок. При множенні числа на суму, множимо число на кожний доданок і отримані добутки додаємо.

1. 
   подавати число у вигляді суми розрядних доданків;
   
2. 
   множити суму на число;
   
3. 
   множити розрядне число на одноцифрове число;
   

Пам’ятка

Прийом на підставі правила множення суми на число.

1. 
   Подаю двоцифровий множник у вигляді суми розрядних доданків.
   
2. 
   Множу кожний доданок на число.
   
3. 
   Додаю отримані добутки.
   

24 * 3 = ( 20 + 4 ) * 3 = 20 * 3 + 4 * 3 = 60 + 12 = 72.

Ознайомлення можна засобом конкретно-індуктивної методики:

- Знайди добутки зручним способом: ( 10 + 2 ) * 4 ( 30 + 7 ) * 2 ( 40 + 1 ) * 2.

- Порівняйте дані добутки з попередніми: 12 * 4 37 * 2 41 * 2.

1. 
   Чим вони схожі? ( В кожній парі однакові другі множники.)
   
2. 
   Чим вони відрізняються? (В перших прикладах пари перший доданок поданий сумою, а в других прикладах – це двоцифрове число.)
   
3. 
   Як ми міркували, обчислювавши значення перших добутків кожної пари?
   
4. 
   Чи можна так само міркувати при обчислюванні значень других добутків? Що спочатку треба зробити? ( Спочатку двоцифровий множник треба подати у вигляді суми розрядних доданків.)
   
5. 
   Обчисліть значення других добутків.
   
6. 
   Як треба міркувати? Що зробимо першим кроком, другим кроком, третім кроком.
   
7. 
   Прочитайте пам’ятку.
   

Щоб помножити число на суму, можна помножити число на кожний доданок і отримані результати додати.

3 * 28 = 28 * 3 = ( 20 + 8 ) * 3 = 20 * 3 + 8 * 3 = 60 + 24 = 84

Пам’ятка

Прийом на підставі правила множення числа на суму.

1. 
   Подаю двоцифровий множник у вигляді суми розрядних доданків.
   
2. 
   Множу число на кожний доданок.
   
3. 
   Додаю отримані добутки.
   

3 * 24 = 3 * ( 20 + 4 ) = 3 * 20 + 3 * 4 = 60 + 12 = 72.

Далі опрацьовуємо уміння множити кругле число на одноцифрове способом на підставі укрупнення розрядних одиниць:

320 * 3 = 32 дес. * 3 = 96 дес. = 960

і вводимо новий спосіб обчислювання – на підставі правила множення суми на число:

320 * 3 = ( 300 + 20 ) * 3 = 300 * 3 + 20 * 3 = 9000 + 60 = 960

Цей спосіб міркування також знайомий учням, вони повинні перенести його на випадок множення трицифрового числа на одноцифрове.

Ділення суми на число.

Ділення двоцифрового числа на одноцифрове. Ділення виду 39 : 3 , 72 : 6.
На першому уроці вводиться і опрацьовується правило ділення суми на число:

Щоб розділити суму на число, можна розділити на це число кожний доданок і отримані частки додати.

Методика роботи аналогічна методиці введення і опрацювання правила множення суми на число.

В діленні двоцифрового числа на одноцифрове виділяються два випадки:

1. 
   Коли ділене замінюють сумою розрядних доданків, тобто кожний з них ділиться на дільник.
   
2. 
   Коли ділене замінюють сумою зручних доданків, кожний з яких ділиться на дільник.
   

Методика ознайомлення . Учням пропонується спочатку обчислити значення частки ( 30 + 9 ) : 3, а потім з’ясувати , як попередні обчислення можна застосувати для знаходження частки чисел 39 та 3. Далі надається зразок дій і повна орієнтувальна основа. Діти вчаться застосовувати її при розв’язуванні прикладів.

Пам’ятка А.

Ділення двоцифрового числа на одноцифрове число.

Прийом на підставі ділення суми на число.

1. 
   Замінюю ділене сумою розрядних доданків.
   
2. 
   Ділю кожний доданок суми на число.
   
3. 
   Додаю отримані частки.
   

39 : 3 = ( 30 + 9 ) : 3 = 30 : 3 + 9 : 3 = 10 + 3 = 13

На наступному уроці вводиться новий випадок ділення двоцифрового числа на одноцифрове, коли ділене треба подати у вигляді суми зручних доданків.

На підготовчому етапі слід актуалізувати уміння:

1. 
   виділяти двоцифрові розрядні числа, які можна розділити на 2 ( 20, 40, 60, 80), на 3 ( 30, 60, 90 ) й тощо;
   
2. 
   подавати число різними способами у вигляді суми двох доданків, кожне із яких ділиться на певне число; заміняти число сумою зручних доданків;
   
3. 
   ділити суму на число;
   

1. 
   Знайдіть значення частки чисел 36 та 3.
   
2. 
   Як треба міркувати?
   
3. 
   Чи можна так само міркувати при знаходженні значення частки чисел 42 і 3? ( Не можна, якщо число 42 подамо у вигляді суми розрядних доданків 40 і 2, але 40 на 3 не ділиться і 2 на 3 не ділиться.)
   
4. 
   Таким чином, що ж нас не влаштовує? ( Ділене 42 не треба заміняти сумою розрядних доданків.)
   
5. 
   А якою сумою треба замінити ділене 42? ( Сумою таких чисел, кожне з яких ділиться на дільник.) Така сума називається сумою зручних доданків.
   
6. 
   Замініть ділене 42 сумою зручних доданків і виконайте ділення.
   

42 : 3 = ( 27 + 15 ) : 3 = 27 : 3 + 25 : 3 = 9 + 5 = 14

42 : 3 = ( 24 + 18 ) : 3 = 24 : 3 + 18 : 3 = 8 + 6 = 14

1. 
   Розкажіть як треба міркувати. Що треба зробити першим кроком? Другим кроком? Третім кроком?
   

Прийом оснований на діленні суми на число.

1. 
   Замінюю ділене сумою зручних доданків.
   
2. 
   Ділю кожний доданок на дільник.
   
3. 
   Додаю отримані частки.
   

42 : 3 = ( 30 + 12 ) : 3 = 30 : 3 + 12 : 3 = 10 + 4 = 14

Треба звернути увагу учнів на підбір зручних доданків: зручно, щоб при діленні першого доданка на число ми отримували 10 або 20 або будь-яке кругле число. Тому при підборі зручних доданків, треба міркувати так: перший доданок – це дільник, збільшений в 10 або в 20 або 30... разів, а другий доданок – це те, що лишається від діленого.

В наступному навчанні розглядаються випадки ділення розрядного числа на одноцифрове, коли не можна застосувати спосіб укрупнення розрядних одиниць. В цих випадках міркуємо , використовуючи прийом ділення суми на добуток:

50 : 2 = ( 40 + 10 ) : 2 = 40 : 2 + 10 : 2 = 20 + 5 = 25

Уміння виконувати ділення в усіх перелічених випадках закріплюються на підставі виконання завдань:

1. 
   Закінчити обчислення: 81 : 3 = ( 60 + 21 ) : 3 =...
   
2. 
   Виконати ділення, розклавши ділене на зручні доданки: 96 : 2, 90 : 5.
   

Перевірка ділення і множення.

Ділене дорівнює добутку частки і дільника. Отже, якщо після множення частки на дільник не отримали ділене, то в обчисленнях припущено помилку.

Учні вчаться перевіряти ділення множенням, наприклад:

84 : 6 = 14, 14 * 6 = 84 – в результаті множення частки на дільник отримали ділене, таким чином ділення виконано вірно.

Потім вводиться перевірка множення. Міркування здійснюються наступним чином:

Якщо добуток поділити на один із множників, то отримаємо інший множник.

Отже, якщо після ділення добутку на один із множників не отримали інший множник, то в обчисленнях припущено помилку.

Учні вчаться перевіряти множення діленням, наприклад:

18 * 5 = 90, 90 : 5 = 18 – в результаті ділення добутку на другий множник, отримали першій множник; отже множення виконано вірно.
360 : 3 = 36 дес. : 3 = 12 дес. = 120

Далі учні зустрічаються з новим випадком ділення розрядного числа на одноцифрове, коли в частці отримаємо двоцифрове число десятків. Міркування здійснюється за відомою пам’яткою, засобом прийому укрупнення розрядних одиниць:

1. 
   Знайдіть значення частки способом випробування: 80 : 20.
   
2. 
   Як ми міркували? ( Розділити 80 на 20 – це означає знайти таке число, яке при множенні на 20 дає 80. Будемо шукати його способом проб: спробуємо число 2, помножимо 2 на дільник, порівняємо результат з діленим .....)
   
3. 
   Чи можна так само міркувати при обчислюванні частки чисел 64 та 16? ( Можна. 64 поділити на 16 – це означає знайти таке число, яке при множенні на 16 дає 64. Це число будемо шукати випробуванням. Починаємо випробувати числа, починаючи з 2...)
   

51 : 17 = , * 17 = 51

*

Прикидка: шукаємо таке число, яке при множенні на одиниці дільника, 7, дає результат, що закінчується одиницями діленого, 1. При множенні 3 на 7 в результаті отримаємо число 21, воно закінчується 1. Чи є інші такі числа? ( Ні.) Випробуємо лише число 3: 3 * 17 = 51. Висновок: 3 – є часткою чисел 51 та 17.

Ділення двоцифрового числа на двоцифрове число.

Спосіб випробування з прикидкою.

1. 
   Розділити число а на число в, означає знайти таке число с, яке при множенні на дільник в, дає ділене а.
   

1. 
   Це число будемо знаходити випробуванням, застосовуючи прикидку:
   

1. 
   шукаю таке число, яке при множенні на одиниці дільника дає одиниці діленого; записую його;
   
2. 
   думаю, чи є ще такі числа; записую їх.
   
3. 
   випробую множенням всі записані числа.
   

1. 
   Роблю висновок.
   

64 : 16 = , * 16 = 64

*

4, 9

Треба зазначити, що діленні двоцифрового числа на двоцифрове можна здійснювати способом послідовного ділення. Ми вже виконували такі завдання при вивченні правила ділення числа на добуток ( див. Тему “Ділення числа на добуток. Ділення розрядного числа на розрядне”.)

64 : 16 = 64 : ( 8 * 2 ) = (64 : 8) : 2 = 8 : 2 = 4

Тут треба звернути увагу, на подання дільника у вигляді добутку зручних множників: першим повинно бути найбільше число, на яке ділиться дільник за таблицями ділення.

Це задача на конкретний зміст дії ділення на вміщення, тому учні відразу можуть записати її розв’язання наступним чином: 20 : 6. Але знайти значення цієї частки вони не можуть, тому що не існує такого числа, яке при множенні на 6 дає 20. Складається проблемна ситуація. Вчитель пропонує її вирішення засобом практичних дій:

1. 
   Скільки потрібно взяти олівців, щоб покласти в першу склянку? ( 6) Візьміть 6 олівців і покладів їх в першу склянку.
   
2. 
   Чи всі олівці ми розклали? (Ні, не всі.)
   
3. 
   Візьміть ще стільки олівців, щоб покласти у другу склянку. Скільки потрібно взяти олівців? ( 6) Беремо 6 олівців і кладемо у другу склянку.
   
4. 
   Чи всі олівці ми розклали? (Ні, не всі.)
   
5. 
   Візьміть ще стільки олівців, щоб покласти у третю склянку. Скільки потрібно взяти олівців? ( 6) Беремо 6 олівців і кладемо у третю склянку.
   
6. 
   Чи всі олівці ми розклали? (Ні, залишилося 2 олівці.) Чи можна їх покласти у четверту склянку? ( Ні, тому що треба розкладати по 6 олівців у кожну склянку, а тут лише 2.)
   
7. 
   Скільки ми отримали склянок з олівцями? ( Три склянки по 6 олівців в кожній.)
   
8. 
   Скільки олівців залишилося? (Залишилося 2 олівці.)
   
9. 
   Розв’язання цієї задачі можна так: 20 : 6 = 3 ( ост. 2) – ми виконали ділення з остачею, тут : 20 – ділене, 6 – дільник, 3 – частка, 2 – остача. Цей запис читають так: 20 розділити по 6, в частці буде 3 і в остачі 2.
   

17

17 : 3

Порівнюючи приклади на ділення націло і ділення з остачею:

12 : 3 = 4 16 : 4 = 4 10 : 5 = 2

13 : 3 = 4 ( ост 1) 18 : 4 = 4 (ост. 2) 13 : 5 = 2 ( ост. 3)

учні дістають висновку: в остачі отримуємо число, яке показує на скільки ділене більше за число, яке ділиться на дільник націло, а в частці отримуємо те ж саме число, що й при діленні націло.

На другому уроці учні знайомляться з алгоритмом ділення з остачею:

Пам”ятка