Міністерство освіти І науки україни національний педагогічний університет



Сторінка1/25
Дата конвертації08.03.2016
Розмір3.68 Mb.
  1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   25


МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ
НАЦІОНАЛЬНИЙ ПЕДАГОГІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

ІМЕНІ М.П.ДРАГОМАНОВА


ПОЛТАВСЬКИЙ ОБЛАСНИЙ ІНСТИТУТ

ПІСЛЯДИПЛОМНОЇ ПЕДАГОГІЧНОЇ ОСВІТИ

ІМЕНІ М.В.ОСТРОГРАДСЬКОГО
ПОЛТАВСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ПЕДАГОГІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

ІМЕНІ в.г.Короленка


ОСОБИСТІСНО ОРІЄНТОВАНЕ НАВЧАННЯ МАТЕМАТИКИ: СЬОГОДЕННЯ І ПЕРСПЕКТИВИ
Матеріали

ІІ Всеукраїнської науково-практичної конференції


6-7 грудня 2005 року

Полтава ЁC 2005


Особистісно орієнтоване навчання математики: сьогодення і перспективи. Матеріали ІІ Всеукраїнської науково-практичної конференції, м. Полтава, 6-7 грудня 2005 року. ЁC Полтава: АСМІ, 2005.ЁC 272 с.
Редакційна колегія:

кандидат фіз.-мат. наук, доцент Москаленко Ю.Д. (голова);

доктор фіз.-мат. наук, професор Лагно В.І.;

доктор фіз.-мат. наук, професор Руденко О.П.;

кандидат пед. наук, професор Швець В.О.;

кандидат пед. наук, доцент Матвієнко П.І.;

кандидат фіз.-мат. наук, доцент Марченко В.О.;

кандидат пед. наук, доцент Москаленко О.А.


Відповідальний за випуск ЁC кандидат пед. наук, доцент Москаленко О.А.


Відповідальність за аутентичність цитат, правильність фактів та посилань несуть автори статей

До збірника увійшли доповіді науковців та вчителів на ІІ Всеукраїнській науково-практичній конференції „Особистісно орієнтоване навчання математики: сьогодення і перспективи” (м. Полтава, 6-7 грудня 2005 року). Представлені матеріали можуть бути корисні студентам, учителям, аспірантам, викладачам і науковцям у процесі викладання математичних дисциплін у вищих та середніх навчальних закладах, на курсах підвищення кваліфікації вчителів, а також у науково-дослідній діяльності.
© Полтавський державний педагогічний університет імені В.Г. Короленка

Методологічні та науково-методичні засади творення і функціонування систем навчання математики

і особистість

До питання професійної компетентності вчителя математики в умовах особистісно-орієнтованого навчання


М.М. Бараболя

Вінницький політехнічний технікум


Професіоналізм вчителя ЁC це наукова категорія, яка змістовно і структурно пов’язана з педагогічною творчістю, педагогічною вмілістю, педагогічною технікою, професійною компетентністю. Усі вони характеризують діяльність вчителя. З іншого боку ЁC професіоналізм вчителя ЁC макроструктура двох складових. Це професійна самосвідомість та педагогічна культура, які відображають гуманістичну спрямованість і духовність педагогічної діяльності. (Зязюн І.А., Сагач Г.М. Краса педагогічної дії. ЁC К., 1997, - с.40)

Педагогічна культура ЁC це сукупність правил моральної поведінки педагога в типових ситуаціях діяльності вчителя. Педагогічна культура характеризує ставлення вчителя до власної праці, до учня, до батьків учня тощо. Щодо професійної самосвідомості, то саме вона виражає необхідність такої праці, при якій вчитель чітко розуміє мету своєї діяльності.(Український педагогічний словник).

В теорії та практиці діяльності вчителя виділяють такі компоненти професійно-педагогічної компетентності: етика вчителя, система психолого-педагогічних знань, система знань зі свого предмету, загальний розвиток, професійно-особистісні якості.

Професійна компетентність вчителів є однією із проблем сучасної школи та характеризується впровадженням нових ідей, концепцій, теорій і підходів. Професійні знання і вміння - це знання з предмету (математики), знання з педагогіки та психології, з методики викладання математики.

Нині навчання в школі з авторитарного має перетворитися в особистісно-орієнтоване. Вчитель в сучасних умовах постає носієм освітніх та суспільних змін, а не просто основною постаттю навчально-виховного процесу, як це було раніше. Ідея особистісно-орієнтованого навчання вимагає в першу чергу орієнтування на розвиток особистості учня.

Особистісно-орієнтоване навчання ЁC це таке навчання, основою якого є розвиток особистості. Це не формування особистості, а створення сприятливих умов для її розвитку. Навчаючи учнів математики треба враховувати їх психологічні особливості, пов’язані з віком. Говорячи про особистісно-орієнтоване навчання мають на увазі не тільки індивідуальний підхід до кожного учня, а й створення умов для розвитку та становлення особистості як суб’єкта діяльності та суспільних відносин.

Оскільки навчання математики стає особистісно-орієнтованим, то вчитель математики має переосмислити суть професійних якостей і обов’язково мати таку характеристику, як індивідуальність.

Особистість вчителя впливає на формування самооцінки учня, становлення відношень із однолітками та дорослими, вибір професії, тобто на всі важливі процеси у його житті, на особисте та професійне майбутнє.

Особистість ЁC конкретна, цілісна людська індивідуальність у єдності її природних і соціальних якостей. З точки зору педагогіки і психології особистість ЁC це певне поєднання психічних властивостей: спрямованості, рис темпераменту й характеру, здібностей, особливостей психічних процесів (відчуття, сприймання, мислення, уяви, уваги, емоційно-вольової сфери).

Складовими професійної компетентності є знання з педагогіки та психології, володіння новітніми методиками навчання учнів. Сьогодні на заняттях актуально використовувати тестові завдання, програмоване опитування, новітні інтерактивні технології навчання (модульна технологія, диференційоване навчання, технологія опорних сигналів, проблемне навчання, колективні форми навчання, ігрові технології навчання, технологія проектного навчання, тощо), організовувати навчання одночасно на різних рівнях складності. Це насамперед допомагає здійснити індивідуальний підхід до кожного учня. Крім того, це допомагає у становленні та розвитку особистості кожного учня, його самореалізації, спонукає учнів до активної діяльності, стимулює розвиток мислення, уяви, позитивне ставлення до навчання. Учень починає вчитися виходячи з необхідності знань і інтересу до знань. Але для цього кожен вчитель має вдосконалити свої професійні навички. Мова йде про нові методичні та педагогічні вміння, особистісні якості, такі як інтелектуальність, толерантність, гуманність.

Впровадження нових технологій навчання, використання тестів, програмованого навчання та опитування на уроках математики потребує перш за все багато часу, як для підготовки вчителя до таких занять, так і часу для їх використання на уроках.

Важливо щоб була розроблена чітка система роботи вчителя над вдосконаленням своїх професійних навичок, теорія про методичне оснащення вчителя математики в сучасних умовах, систематизовано необхідний матеріал з методики викладання математики, педагогіки, психології, інноваційних технологій навчання з конкретними прикладами, зрозумілими та корисними для вчителя математики. Тобто в даному випадку мова йде про створення чіткої системи самоосвіти вчителя математики з практичними розробками з методики викладання та методичними рекомендаціями, щодо розвитку професіоналізму.


Література

Дьяченко Б.А. Професіоналізм вчителя як психолого-педагогічний феномен // Наука Луганщини у контексті розвитку регіону: Збірник наукових праць за матеріалами симпозіуму. ЁC Луганськ, 1999.

Синенко В.Я. Профессионализм учителя// Педагогика. -1999. ЁC №5.- с 45 ЁC 52.

Слєпкань З.І. Проблеми особистісно-орієнтованої математичної освіти учнів середньої школи// Дидактика математики: проблеми і дослідження: Міжнародний збірник наукових робіт. ЁC Вип..19. ЁC Донецьк: Фірма ТЕАН, 2003. ЁC 172 с.

Український педагогічний словник. ЁC Київ: Либідь, 1997. ЁC 376 с.

Метод аналогії як засіб активізації пізнавальної діяльності учнів при навчанні математики


І.В.Корнейчук

Дрогобицький педуніверситет

Реформування освіти вимагає нових підходів до змісту й організації навчально-виховного процесу в загальноосвітній школі і передбачає перехід від навчально-дисциплінарної моделі організації педагогічного процесу до моделі, за якої індивідуальність школяра стала б основою виховного процесу і кожна особистість сприймалася б як творча індивідуальність. Школа націлена на реалізацію особистісно орієнтованої моделі освіти, яка дозволяє повніше розкрити всю багатогранність та неповторність особистості учня, формує якості, необхідні для подальшої самореалізації у динамічній соціальній сфері.

Сучасна педагогічна наука накопичила інноваційні технології навчання, які виникли для розвитку розумової діяльності, для активізації та підвищення ефективності навчального процесу, для розвитку вміння самостійно здобувати знання і творчо їх використовувати. Реалізація цих технологій стала можливою у зв’язку з реформуванням освіти. У програмі “Освіта”(Україна ХХІ століття) сказано про “оновлення змісту освіти, запровадження ефективних педагогічних технологій; створення нової системи методичного і інформаційного забезпечення школи” [1]. Сьогодні вже можна говорити про прогресивні тенденції в розвитку методології школи.

У зв'язку з цим набувають нового значення проблеми роз­витку формування мотивації та пізнавального інтересу, ак­тивізації навчально-пізнаваль­ної діяльності, самостійності, творчої активності учня і вчи­теля, організації контролю і самоконтролю, практичного застосування здобутих знань у житті.

Навчання учня спонукаєть­ся сукупністю мотивів, серед яких є домінуючі, допоміжні й слабкопомітні. Від сили й характеру впливу певного мо­тиву на діяльність особистос­ті залежить міра індивідуаль­ної значущості навчання для учня. А найважливішим моти­вом при цьому виступає пізна­вальний інтерес, який є осно­вою активної самостійної ді­яльності учня у навчанні, його ставлення до навчання взагалі. Пізнавальний інтерес є од­ним із найважливіших факто­рів навчального процесу, вплив якого незаперечний для ство­рення світлої і радісної атмо­сфери навчання і для інтен­сивності перебігу пізнавальної діяльності учнів. У ньому ви­являється єдність об'єктивної і суб'єктивної граней пізна­вальної діяльності.

Математика має величезні можливості для розумового розвитку учнів, завдяки всій своїй системі, виключній чіткості і точності своїх понять, висновків і формулювань. Одне із завдань навчання математики полягає в тому, щоб розвивати мислення школярів, їх пізнавальний інтерес, удосконалювати вміння мислити, робити висновки, тобто формувати розумову культуру, яка характеризується певним рівнем розвитку мислення, оволодінням узагальненими прийомами мислення. шкільного курсу математики у відповідність з сучасним станом цієї науки.

У різних аспектах викладання математики мають вагоме значення не тільки математичні факти, але і методи, які застосовуються у цьому курсі. Ось чому дуже важливо вчити учнів не лише знати і вміти застосовувати на практиці математичні факти, але і чіткому усвідомленню методів, якими користуються в математиці. Аналогія, знаходячись в тісному зв’язку з іншими методами навчання, може виступати в навчальному процесі і як дидактичний прийом і як метод навчального пізнання.

За допомогою аналогії пізнавальна діяльність учнів на основі встановлення подібності між об’єктами спрямовується на реалізацію певних дидактичних цілей ЁC набуття нової навчальної інформації, конкретизацію, усвідомлення виучуваного матеріалу, закріплення, запам’ятовування, узагальнення та систематизацію набутих знань.

У дидактичному аспекті аналогія виконує дві істотні функції ЁC пояснювальну і пошукову. Пояснювальна полягає в тому, що шляхом створення ілюстративних аналогових моделей можна досягнути конкретних уявлень про навчальний матеріал. За допомогою аналогії вчитель може викликати в учнів добре відомі їм предметні уявлення, схожі на ті, що вивчаються. Пошукова ж функція в сучасних умовах навчання має особливе значення. Вона полягає в тому, що за допомогою аналогії здобуваються нові знання, аналогія сприяє висуненню гіпотез, знаходженню способів вирішення поставлених проблем, укрупненню одиниць засвоєння, систематизації засвоєних знань. Знаходячись у тісному взаємозв’язку ці дві характеристики дають повне уявлення про аналогію як про цілісне явище.

Виховати в учнів здатність бачити аналогії між об’єктами ЁC важливе завдання школи. Відомий вчений Стефан Банах, підкреслюючи велику пізнавальну роль аналогії, висловлювався: „Математик ЁC це той, хто вміє знаходити аналогії між твердженнями; кращий математик ЁC той, хто встановлює аналогії доведення; більш сильний математик той, хто зауважує аналогії теорії; але можна уявити і такого, хто між аналогіями бачить аналогії” [2, c.15].

Важлива функція аналогії в навчальному процесі в її продуктивній ролі, яка виявляється в тому, що за її допомогою створюються проблемні ситуації, виникають здогадки, висуваються гіпотези, визначаються способи вирішення проблеми. Розвиток гіпотези, тобто логічний процес її висунення, обґрунтування і доведення може здійснюватися шляхом аналогії. Як зауважує П.В.Копнін: „Аналогія, як правило, дає поштовх для висунення гіпотези” [4, с.75]. В побудові гіпотези актуалізуються всі наявні знання відносно даної проблеми. До нових ідей „приводять сміливі, зухвалі аналогії, які зближують процеси, явища, здавалось би, занадтовіддалені один від одного, які не мають між собою, на перший погляд, нічого спільного” [4, с.76].

Вивчаючи сутність методу аналогії у навчанні математики, в це поняття можна вкласти такий зміст: аналогія в навчанні ЁC такий шлях засвоєння навчальної інформації, коли пізнавальна діяльність учнів на основі встановлення подібності між об’єктами в певних ознаках чи відношеннях спрямовується на здобуття нових знань про виучуваний об’єкт, усвідомлення його місця в системі знань чи на осмислення і запам’ятовування якого-небудь висловленого положення.

Застосування аналогії є досить корисним як в процесі вивчення математики, так і інших наук. Аналогія, на думку П.М.Ерднієва, допомагає співставляти і протиставляти математичні поняття, а нові відомості, поняття краще засвоюються тоді, коли вони вводяться не поза зв’язком з попередніми, а в порівнянні з ними, у встановленні подібних або відмінних ознак. Стосовно застосування аналогії у шкільній практиці він пише: „Застосування аналогії спричиняє появу свіжих асоціацій, які сприяють глибокому розумінню матеріалу, якісному оновленню знань, єдиному поєднанню знань...”[3, с.20].

Вміння застосовувати аналогію у процесі навчання математики можна вважати важливим компонентом математичної творчості учнів. Умовиводи за аналогією виступають основним моментом при розробці навчальних гіпотез, при встановленні нових закономірностей, методів розв’язувань і доведень. Якщо вчитель належним чином у цьому напрямку веде навчання, знаходить методичні прийоми, які стимулюють учнів на творчість, то це і є часткове вирішення проблеми розвитку ініціативи і самостійності учнів при навчанні.

Засвоєння матеріалу буває продуктивним і гнучким, якщо він заучений не механічно, а осмислений учнем, а ще краще, коли здобутий в самостійному пошуці. Навчання повинне проводитися в такому напрямку, щоб учні уміли самі шукати шляхи в невідоме, оволодівали способами самоснійного здобування знань. Вчитель повинен виховувати в учнів звичку порівнювати предмети і їх властивості, проводити аналогії, наштовхувати їх на самостійну математичну творчість.


Література

Державна національна програма “ОСВІТА” (Україна XXI століття). ЁC К.: Райдуга, 1994. - 62 с.

Эмпахер А. Сила аналогии. ЁC М.: Мир, 1965. ЁC 154 c.

Эрдниев П.М. Сравнение и обобщение при обучении математике. ЁC М.: Учпедгиз, 1960. ЁC 152 с.

Копнин П.В. Гипотеза и познание действительности. ЁC К.: Госполитиздат УССР, 1962. ЁC 182 с.

Методологічна основа формування

навчально-пізнавальної евристичної діяльності
О.В.Мазнєв, О.І. Скафа

Донецький національний університет


Навчально-пізнавальна евристична діяльність ЁC це діяльність учнів, яка організована та проходить під керівництвом вчителя з використанням різноманітних засобів евристичного навчання, спрямована на створення нової системи дій за пошуком невідомих раніше закономірностей, на формування процесів, які забезпечують пізнавальну та творчу діяльність, в результаті якої учні активно оволодівають знаннями, розвивають свої евристичні навички та уміння, формують пізнавальні мотиви та організаційні якості.

Така діяльність учнів спрямована на інтелектуальний розвиток школярів, на самостійне творче здобування, перетворення й використання знань, навичок та умінь особистості, яка зможе адаптуватися у швидко змінюючомуся сучасному інформаційному просторі.

Методологічною основою формування навчально-пізнавальної евристичної діяльності є теоретико-методологічні положення і наукові джерела у різних галузях знань, а саме:

праці філософів, в яких розглядаються питання щодо проблеми становлення людини як суб’єкта власної життєдіяльності, проблеми ролі евристики в науковому пізнанні (Р.Ф.Абдєєв, В.П.Андрущенко, В.П.Бранський, П.С.Гуревич, В.Г.Кремень, В.В.Мантатов, М.М.Моісеєв, А.І.Ракітов, А.Д.Урсул та ін.);

теорія пізнання, діяльнісний, системний, комплексний та особистісно орієнтований підходи до формування особистості, дидактичні й психологічні принципи розвивального навчання (А.М.Алексюк, В.П.Беспалько, В.В.Давидов, Л.В.Занков, М.Я.Ігнатенко, З.І.Калмикова, А.М.Леонтьєв, І.Я.Лернер, Ю.І.Машбиць, Я.О.Пономарьов, З.І.Слєпкань, С.Д.Смірнов, Н.Ф.Тализіна, О.К.Тихоміров, Д.Б.Ельконін, І.С.Якиманська та ін.);

психолого-педагогічна теорія евристичного навчання (В.М.Соколов, А.В.Хуторський);

евристика як методологія формування діяльності, спеціальні розділи евристики, розв’язання задач і навчання розв’язуванню задач (В.І.Андрєєв, Г.С.Альтшуллер, Г.Д.Балк, М.Б.Балк, Г.А.Балл, В.Г.Болтянський, М.І.Бурда, Н.І.Зільберберг, Ю.М.Колягін, О.В.Кужель, Ю.М.Кулюткін, Л.Ларсон, У.Н.Лейфура, Ю.О.Палант, Д.Пойа, Я.О.Пономарьов, В.Н.Пушкін, Є.Є.Семенов та ін.);

національна концепція навчання математики (М.І.Бурда, З.І.Слєпкань, Г.М.Литвиненко, Н.І.Шкіль);

концепція диференціації, гуманізації, гуманітаризації та демократизації навчально-виховного процесу в умовах національного відродження України, фундаментальні положення теорії і методики навчання математики (Г.П.Бевз, М.І.Бурда, Я.І.Грудьонов, М.Я.Ігнатенко, Ю.М.Колягін, Т.В.Крилова, І.О.Новік, А.М.Пишкало, Г.І.Саранцев, З.І.Слєпкань, О.О.Столяр, Н.А.Тарасенкова, Л.М.Фрідман, Н.М.Шунда та ін.);

теоретико-методичні основи сучасних інформаційно-комунікаційних техно­логій освіти та методика навчання інформатики (В.П.Горох, Ю.В.Горошко, В.М.Глушков, А.М.Гурій, А.П.Єршов, М.І.Жалдак, Ю.О.Жук, В.І.Клочко, В.М.Монахов, Н.В.Морзе, Т.О.Олейник, Є.С.Полат, С.А.Раков, Ю.С.Рамський, І.В.Роберт, О.В.Співаковський, В.М.Ченців та ін.).

Крім таго, розглядаючи дидактичні передумови керування навчально-пізнавальною евристичною діяльністю, нами проведений аналіз її методологічного компонента.

У процесі евристичної діяльності учні опановують елементами методології математики, структурними елементами творчого процесу пізнання в математиці; у них формується науковий світогляд, математичне мислення.

Істотними проявами розуму людини, необхідними для формування його математичного мислення, є: кмітливість, логічність, спритність і особливо ініціативність, гнучкість, критичність.

Ініціативність виражається в бажанні самому осягти проблему, у прагненні до самостійних пошуків способів і засобів розв'язування задач. Гнучкість і критичність розуму виражаються в придумуванні і застосуванні не шаблонових, оригінальних, дотепних прийомів розв'язання задач і методів міркувань з постійною перевіркою їх правильності, строгості і практичній цінності.

Оскільки основним об'єктом евристики як науки про мислення є творча діяльність, можна розглянути деякі особливості математичної творчості.

Методологічна сторона навчально-пізнавальної евристичної діяльності у визначеній мірі детермінується її операційно-процесуальним аспектом. У ході навчального дослідження учні опановують елементами наукових методів математики, структурними елементами творчого процесу пізнання в математиці. Важливість методологічного аспекту полягає в тому, що використання елементів методології математики в навчальному дослідженні дозволяє виявити нові можливості в удосконаленні процесу формування наукового світогляду учнів.

Методичні аспекти використання процесу

факторизації в курсі геометрії та математичного аналізу


Т.І.Савочкіна

Харківський національний педуніверситет


Забезпечення якості вищої освіти має чіткий міжнародний вимір. Так конференції міністрів вищої освіти Європи (Прага, травень 2001р; Берлін, вересень 2003р.) у своїй постанові закликають працівників вищої освіти поліпшити роботу щодо розробки навчальних курсів програм, навчальних модулів на всіх рівнях з “європейським” змістом, орієнтацією та організацією. Проблема адаптування вітчизняної системи вищої освіти до загальноєвропейського освітнього простору є надзвичайно актуальною. Вона потребує, зокрема, якісної підготовки вчителів математики для середньої школи. Основна відповідальність за якісне і професійне викладання математичної дисципліни покладається на викладача, а тому важливого значення набуває правильно поставлена і добре продумана методика викладання математичних дисциплін, зокрема, геометрії і математичного аналізу. Кожна з цих дисциплін має свою специфіку, свій предмет і свою програму для викладання. Щоб досягти якості у навчанні цих дисциплін треба: знайти оптимальне співвідношення змісту та об’єму навчального матеріалу; дотримуватися математичної строгості і наочності; розкрити міжпредметні зв’язки цих дисциплін; досягти належної професійної орієнтації.

Автором досліджується проблема розширення міжпредметних зв’язків в навчальних курсах геометрії та математичного аналізу на базі таких понять, як конгруенція і процес факторизації.

Процес факторизації в курсі математичного аналізу

Відомо ѓЛ3ѓН, яку важливу роль в навчальному курсі математичного аналізу відіграє властивість повноти числової прямої. Тільки побудова повної системи дійсних чисел дозволила, у відомих межах, обґрунтувати математичний аналіз. Велику роль відіграє властивість повноти метричного простору і у функціональному аналізі. У програмі цього курсу є теорема про поповнення метричного простору, доведення якої ґрунтується на процесі факторизації. Нехай (Е, ѓв) ЁC неповний метричний простір і F ЁC множина всіх фундаментальних послідовностей елементів із Е. На множині F визначається відношення еквівалентної ѓЧ наступним чином: послідовність ѓлхnѓн еквівалентна послідовності ѓлуnѓн тоді і тільки тоді, коли µ §ѓв(хn, уn) = 0. Далі розглядається фактор-множина ѓРF = F/ѓЧ і у просторі ѓРF задається метрика ѓРѓв формулою: ѓРѓв(ѓРх,ѓРу) = µ §ѓв(хn, уn). Безпосередньо перевіряється, що ѓРF є повним метричним простором і, з точністю до ізометричності, простір Е „}ѓРF. Для ілюстрації важливості такого процессу наведемо приклади.

Приклад М1. Нехай Е = С0ѓЛ0, 1ѓН ЁC простір поліномів, визначених на відрізку [0, 1]. Відносно метрики ѓв(f, g) = µ §„nf(х) ЁC g(t)„n множина Е є метричним простором. Розглянемо послідовність поліномів:ѓлfkѓн, де k=0,1,..., і fk(t)= 1+ t +...+ µ §. Оскільки границя µ §fk = lt і функція lt не є поліномом, то простір Е неповний. Наведений вище процес поповнювання дає простір ѓРF = СѓЛ0, 1ѓН ЁC простір всіх неперервних функцій на ѓЛ0, 1ѓН і , як відомо, ѓРF ЁC повний метричний простір, який містить у собі простір поліномів Е.

Приклад М2. Нехай Q ЁC поле раціональних чисел. Його можна розглядати як метричний простір з метрикою ѓв(х, у) = „nх ЁC у„n. Тоді вказаний процес поповнювання дає нам поле дійсних чисел R =ѓРQ.

Приклад М3. Нехай K ЁC клас всіх множин і множини А, В „Ў K. Згідно означенню А і В називаються рівнопотужними. Якщо існує взаємно однозначне відображення А на В. Очевидно, відношення рівнопотужності ѓЧ є відношенням еквівалентності на K. Елементи фактор-множини ѓРK = K/ѓЧ називаються кардинальними числами. Таким чином, якщо множина А „Ў K, то потужність цієї множини є клас еквівалентності ѓЧ(А), який позначається „nА„n. Першим нескінченим кардинальним числом є потужність „nN„n множини всіх натуральних чисел. Множини, рівнопотужні N, називаються зчисленними множинами.

Конгруенції і процес факторизації в геометрії

  1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   25


База даних захищена авторським правом ©refs.in.ua 2016
звернутися до адміністрації

    Головна сторінка