Показникові рівняння та нерівності



Скачати 184.11 Kb.
Дата конвертації30.03.2016
Розмір184.11 Kb.
Тема уроку: Показникові рівняння та нерівності.
Мета уроку:

  • навчальна:

    • повторити означення, графік та властивості показникової функції, основні показникові тотожності;

    • удосконалити знання та вміння учнів розв’язувати показникові рівняння та найпростіші показникові нерівності;

    • систематизувати методи розв’язування показникових рівнянь;

    • навчити використовувати відомі методи для нового виду рівнянь (однорідних).

  • розвиваюча:

- розвивати логічне мислення, кмітливість, старанність, самостійність,

уміння зосередитися, пізнавальний інтерес, культуру відповіді,

критичність і швидкість розв’язування.


  • виховна:

  • виховувати почуття відповідальності, віру у свої можливості й здібності;

  • формувати вміння співпрацювати в ході спільної навчальної діяльності.

Тип уроку: комбінований.


Форма організації уроку: колективна, групова, індивідуальна, фронтальна.
Методи навчання. Частково-пошуковий.

Перевірка рівня знань; робота по узагальнюючій схемі;

системні узагальнення; сприйняття нового матеріалу.
Обладнання: комп’ютер, мультимедійний проектор, екран.
Наочність: презентації Power Point.

Девіз уроку: Мало знати, потрібно й використовувати.



Мало бажати, потрібно й робити.

Й. Гете

Епіграф: Саме на подоланні труднощів росте і розвивається



математик.

О. Хінчин

Хід уроку


І. Організаційний етап.

ІІ. Повідомлення теми і мети уроку.

Вступне слово вчителя. Які асоціації викликає у вас слово «урок»?

У – успіх…

Р – радість…

О – обдарованість…

К – компетентність…

Сподіваюся, сьогодні на нас чекає і успіх, і радість. Ви зможете продемонструвати власну обдарованість і компетентність. Перед вами стоїть завдання проявити свої знання і вміння застосовувати властивості показникової функції при розв’язуванні рівнянь та нерівностей.



ІІІ. Узагальнення й систематизація знань та вмінь.

  1. Бліц-опитування (Презентація 1, слайди № 6,7,8).

На дошку проектуються запитання. Відповідає учень, який перший підняв руку. За кожну правильну відповідь команді нараховується 2 бали. Якщо відповідь неправильна, то відповідає представник другої команди. Якщо відповідь неповна, то нараховується менше двох балів. За доповнення учень другої команди отримує різницю балів.

Запитання до учнів:

  1. Яка функція називається показниковою?

  2. Яка область визначення функції у = 0,1х ?

  3. Яка область визначення показникової функції?

  4. Яка область значень показникової функції?

  5. Дайте визначення зростаючої функції.

  6. При якій умові показникова функція є зростаючою?

  7. Дайте визначення спадної функції.

  8. При якій умові показникова функція є спадною?

  9. При якій умові 2х1 > 2х2 ?

  10. При якій умові 0,2х1 > 0,2х2 ?

  11. У якій точці перетинається графік функції у = 2,4-0,3х з віссю ординат?

  12. Чи є спільна точка у графіків функцій у = 3х і у = 0,19х?

  13. Яке рівняння називають показниковим?

  14. Скільки розв’язків може мати рівняння ах = b, де a > 0, a ≠ 1, b > 0 ?

  15. Чи має розв’язок показникове рівняння ax = y, коли y = 0 ?

  16. У чому полягає спосіб зведення до спільної основи при розв’язування показникових рівнянь?

  17. Як розв’язуються показникові рівняння виду Aa2x + Bax + C = 0 ?

  18. Як розв’язати графічно рівняння 2х = х+2 ?




  1. «Швидкісні перегони».

Усні завдання на застосування властивостей показникової функції.

У завданнях 1, 2, 3, 4 учні повинні назвати номери правильних варіантів.

За повну правильну відповідь – 2 бали. За неповну – 1 бал, за доповнення другої команди – 1 бал. (Презентація 1, слайди № 9,10,11,12,13,14).


  1. Які з наведених функцій є показниковими?

1) у = 3х; 2) у = х3; 3) у = 1х;

4) у = (-4)х; 5) у = ; 6) у = х0,6;

7) у = (х – 5)8; 8) у = (1 - )х; 9) у = 9;

10) у = х; 11) у = πх; 12) у = .

(відповідь: 1, 5, 8, 9, 11, 12)




  1. Які з наведених графіків є графіками показникової функції?



(відповідь: 3,4)




  1. Серед наведених функцій виберіть ті, що зростають.

  1. у = 2х ; 2) у = 100,5х ; 3) у =0,65х+2 ; 4) у = 0,151,5х;

5) у ; 6) у = .

(відповідь: 1, 2, 6, 7)




  1. Серед наведених функцій виберіть ті, що спадають.

1) у = 40,3х ; 2) у = 0,3х ; 3) у = 6,92х-1 ; 4) у = 0,112х ;
5) у = ; 6 у 7) у =

(відповідь: 2, 4, 5, 7)




  1. Учням пропонується порівняти числа m і n та обгрунтувати свою відповідь. За правильну відповідь – 2 бали.

Порівняйте числа m і n, якщо:

  1. ; (а = 4/5, а < 1, то x > y)

2) ; (а = 1,5, а > 1, то x < y )


(а = 0,3, а < 1, то x < y)

4) ; (а = 8/3, а > 1, то x > y)




  1. Учням пропонується порівняти а з одиницею та обгрунтувати свою відповідь. За правильну відповідь – 2 бали.

Порівняйте а з одиницею (а > 0), якщо:


  1. а7 > а10 ; (функція y=at із зростанням аргументу спадає, тому a < 1)

2) а-5 < а-3; (із збільшенням показника степінь збільшується, тому a > 1)




  1. «Знайдіть пару».

Завдання на встановлення відповідності.

Учні записують відповіді на аркушах і здають на перевірку експертам.

Перевіряються і оцінюються всі роботи. За кожну правильну відповідність

1 бал (максимальна кількість балів – 8). Командам виставляється середній

бал. Перевірка правильності виконання на слайді 15 презентації 1.



aras = ar-s

ar:as = arbr

(ar)s = 1

(ab)r = 1/ar

(а/b)r = а

a0 = ar+s

а1 = аr/br

a-r= ars





  1. «Естафета».

В конкурсі беруть участь по 8 учасників з кожної команди, які по черзі виконують запропоновані завдання. За кожний крок нараховується 1 бал. (Презентація 1, слайд № 16).
Завдання для першої команди.
Подайте у вигляді степеня з основою 2 число:
8; ; ; 0,25; 1024; 0,5; ; 0,0625.
(Відповіді: 8 = 23; ; ; 0,25 = 2-2; 1024 = 210; 0,5 = 2-1; ; 0,0625 = 2-4 )
Завдання для другої команди.
Подайте у вигляді степеня з основою 3 число:

81; ; ; 81-1 ; ; 1; 7290,25 ; 27π.

(Відповіді: 81 = 34; = 3-3; ; 81-1 = 3-4; = ; 1 = 30; 7290,25 = ; 27π = 3 )



  1. «Математичні розваги».

  1. Визначити, розв’язок якого рівняння зображено на даній схемі. За правильну відповідь – 2 бали. (Презентація 1, слайд № 17).

1) ;

2) 2x = x – 6 ;

3) ;

4) 2x = - x + 6.

Відповідь: 3) .




  1. Визначити, розв’язок якої нерівності зображено на даній схемі. За правильну відповідь – 2 бали. (Презентація 1, слайд № 18).


1) 3х х – 4;

2) ;

3) 3х 3 ;

4) 3х 4 – х.

Відповідь: 4) 3х 4 – х.


  1. «Розминка».

Усне розв’язування показникових рівнянь і нерівностей.

На дошку проектується таблиця з найпростішими показниковими рівняннями та нерівностями. За кожну правильну відповідь – 2 бали. (Презентація 1, слайд № 19).







1

2

3

4

5

1

2х = 16

3х = 81

5х = 125

10х = 10000

4х = 256

2

3х-1 = 9

5х-3 = 25

3х =

12х = 1

= 7

3

5 = 25

2 = 16

4х = 2

27х = 3

= 8

4

2х > 8

2х >

≤ 2

2х

2х > -2

5

2х < -2

3х ≤ 27

3х >

5х <

>





  1. Класифікація показникових рівнянь. (Презентація 1, слайд № 20)

Назвіть способи розв’язування рівнянь:


  1. 7х+2 - 14∙7х = 5

  2. 42х+2 + 4х+1 -1 = 0

  3. 4х+1 = 2

  4. 9х – 3х+1 = 54

  5. 3х+1 - 2∙3х-2 = 75

  6. 7х = 49

  7. 26х-2,5 = 16

  8. 52х+1 - 26∙5х + 5 = 0

  9. 4∙3х+2 + 5∙3х - 7∙3х+1 = 60

  10. 22х - 10∙2х +16 = 0

  11. 32х-1 = 27

  12. 2х+2 – 2х = 96




Учні записують в таблицю порядкові номери відповідних рівнянь і здають на перевірку експертам. Перевіряються і оцінюються всі роботи. Максимальна кількість балів - 3. Командам виставляється середній бал.

Перевірка правильності виконання на слайді.


Зведення до спільної основи

Винесення спільного множника за дужки

Введення нової змінної (зведення до квадратного рівняння)












8. «Марафон».

Командам пропонується розв’язати рівняння та нерівність, попередньо визначивши, яке це рівняння і яким методом розв’язується.

Конкурс проходить у вигляді естафети, у якій беруть участь по 4 учні з кожної команди. Команда, яка швидше розв’яже всі завдання, виграє. Кожний крок оцінюється 5 балами. Недоліки у розв’язуванні зменшують кількість нарахованих балів. Учень може скористатися «підказкою залу», за яку знімається 1 бал. (Презентація 1, слайд № 21).


Команда 1

Розв’язати рівняння:

1. 2х∙3х = 36;

2. 4х + 2х+1 = 80;

3. 52х+1 – 52х-1 = 24.

Розв’язати нерівність:



.
Команда 2

Розв’язати рівняння:

1. 4х∙5х = 400;

2. 52х-1 + 5х+1 = 250;

3. 3х+2 + 3х-1 = 28.

Розв’язати нерівність:



.


ІV. Вивчення нового матеріалу. (Презентація 1. Слайди № 22,23 )

Мета: ознайомити учнів з іще одним видом показникових рівнянь – однорідними

рівняннями.

Даний етап уроку проходить у формі «мозкового штурму». Експерти оцінюють правильність міркувань, активність учнів кожної команди. Максимальна кількість балів – 5.

Командам пропонується розв’язати рівняння

3∙16х + 2∙81х = 5∙36х.

Учні в командах обмінюються думками щодо розв’язування рівняння. Колективно складають алгоритм розв’язання рівняння, після чого представляють свої варіанти.

Потім перевіряють правильність своїх міркувань за записами на слайді та поясненнями вчителя.



Пояснення вчителя. Показникові рівняння виду А∙а2х + В(а∙b)х + С∙b2х = 0 називаються однорідними.

Розв’язуються такі рівняння почленним діленням або на а2х ≠ 0, або на b2х ≠ 0 (а2х > 0, b2х > 0).


Приклад. Розв’язати рівняння 3∙16х + 2∙81х = 5∙36х.

Розв’язання.

Запишемо рівняння так:

3∙42х + 2∙92х - 5∙(4∙9)х = 0;

Поділимо обидві частини рівняння на 42х ≠ 0. Отримаємо:

3 + 2∙(9/4)2х - 5∙(9/4)х = 0;

Зробимо заміну: (9/4)х = t; t > 0.

Розв’яжемо отримане квадратне рівняння:

2t2 – 5t + 3 = 0;

t1 = 1, t2 = 3/2.

Повернемось до заміни і розв’яжемо показникові рівняння:




(9/4)х = 1;

(9/4)х = (9/4)0;



х = 0.

(9/4)х = 3/2;

(3/2)2х = (3/2)1;

х = ½.



Відповідь: 0; ½.


V. Вироблення навичок розв’язувати однорідні показникові рівняння.

«Практикум».

Учні самостійно розв’язують рівняння і здають на перевірку експертам. Максимальний бал – 5. Командам виставляється середній бал.

(Презентація 1, слайд № 24).



Команда 1

5∙4x - 7∙10x +2∙ 25x = 0.
Команда 2

3∙4х - 5∙6х + 2∙9х = 0.





VІ. Використання показникової функції в різних фізичних процесах, в галузях техніки і в природі. (Презентація 2).

Поки експерти підбивають підсумки, заздалегідь підготований учень представляє презентацію про використання показникової функції.


природа формулює свої закони мовою математики.

Галілео Галілей
У природі існує притаманна їй прихована гармонія, яка відображається в нашому розумі у вигляді простих математичних законів.

Герман Вейль
Показникова функція дуже часто реалізується в фізичних, біологічних та інших законах.

В житті нерідко доводиться зустрічатися з такими фактами, коли швидкість зміни деякої величини пропорційна самій величині. В цьому випадку дана величина буде змінюватися по закону, що має вигляд:



у = у0ах

За допомогою показникової функції описуються процеси природного зростання чи спадання.



Розмноження бактерій

Колонія живих організмів (зокрема, бактерії) зростає в результаті розмноження. Якщо за рівні проміжки часу число живих організмів збільшується в одне й те саме число разів, то число N організмів по закінченні часу t після початку спостережень виражається формулою



N=na t,

де a >1 – постійна величина, що характеризує швидкість росту даної колонії і залежить від біологічного виду організмів та від умов зовнішнього середовища.

Наприклад, для бактерії, що є збудником холери, число а близьке до 4.

Радіоактивний розпад

Коли радіоактивна речовина розпадається, її кількість зменшується. Через деякий час залишиться половина початкової кількості речовини. Цей проміжок часу Т називається періодом напіврозпаду речовини. Через t років маса М речовини буде дорівнювати

М = М0(1/2)t/T,

де М 0 – початкова маса речовини. Чим більший період напіврозпаду, тим повільніше розпадається речовина.

Явище радіоактивного розпаду використовується для визначення віку археологічних знахідок, наприклад, визначено приблизний вік Землі, біля 5,5 млрд років, для підтримки еталону часу.

Приріст капіталу в банку.

Приріст капіталу в банку здійснюється за законом природного зростання. Всім відома формула складних відсотків:



А = А0(1+р/100)t,

де А — шукана величина, А0, — початковий вклад, Р річний відсоток, t — розрахунковий термін.



Ріст населення.

Зміна кількості людей в країні за великий проміжок часу t описується

формулою:

N = N0eat,

де N0 – кількість людей при t = 0, N – кількість людей в момент часу t,



а, e – постійні величини.

Приріст деревини.

Дерево росте так, що кількість деревини в початковий момент збільшується з часом за законом:



m=m 0 a k t,

де m 0 кількість деревини в початковий момент, kдеяка постійна, t – час у роках, який відраховується з моменту, коли об’єм деревини був V.


В природі і техніці часто можна спостерігати процеси, які проходять відповідно до законів вирівнювання, що описуються показниковою функцією.

Наприклад, всі, напевно, помічали, якщо зняти киплячий чайник з вогню, то спочатку він швидко охолоджується, а потім зниження температури йде набагато повільніше. Справа в тому, що швидкість охолодження пропорційна різниці між температурою чайника і температурою навколишнього середовища. Чим меншою стає ця різниця, тим повільніше охолоджується чайник.

Якщо спочатку температура чайника дорівнювала Т0, а температура повітря – Т1, то через t секунд температура чайника виразиться формулою:

Т = (Т1 – Т0-kt + Т1,

де k – число, що залежить форми чайника, матеріалу, з якого він зроблений та кількості води, що в ньому знаходиться.



Задача про парашутиста.

При падінні тіл в безповітряному просторі їх швидкість неперервно зростає. При падінні тіл в повітрі швидкість падіння також зростає, але не може перевищити визначеної величини. Розглянемо задачу про падіння парашутиста. Якщо вважати, що сила опору повітря пропорційна швидкості падіння парашутиста, тобто F = kV, то через t секунд швидкість падіння буде дорівнювати:



V = mg/k (1- e-kt/m),

де m – маса парашутиста.

Через деякий проміжок часу e-kt/m стане дуже маленьким числом і падіння стане майже рівномірним.

Дана формула використовується не тільки для вивчення падіння парашутиста, але і для дослідження падіння краплини дощової води, пушинки тощо.



Коливання маятника.

Якщо при коливаннях маятника не нехтувати опором повітря, то амплітуда коливань стає все меншою, коливання затухають. Відхилення точки, що здійснює затухаючі коливання, виражається формулою:



S = Ae-kt sin(ωt + φ0).

Оскільки множник e-kt зменшується з плином часу, то розмах коливань стає все меншим і меншим.



Визначення маси палива.

Багато складних математичних задач доводиться розв’язувати в теорії міжпланетних подорожей. Одною з них є задача про визначення маси палива, необхідної для надання ракеті потрібної швидкості V. Ця маса М залежить від маси m самої ракети (без палива) і від швидкості V0, з якою продукти горіння витікають з ракетного двигуна.

Якщо не враховувати опір повітря і земне тяжіння, то маса палива обчислюється за формулою:

M = m(ev/v0 1) (формула К.Е. Ціолковського).

Зміни атмосферного тиску

При постійній температурі атмосферний тиск змінюється залежно від висоти над рівнем моря за законом:



Р=Р0 а h,

де Р0 – атмосферний тиск над рівнем моря, Р – тиск на висоті h, а – деяка постійна (залежить від температури).


Як бачите, у всіх наведених вище дослідженнях використовувалася показникова функція. Ось деякі з Нобелівських лауреатів, що отримали премію за дослідження в області фізики з використанням показникової функції:

П’єр Кюрі – 1903 р.

Річардсон Оуен – 1928 р.

Ігор Тамм – 1958 р.

Альварес Луїс – 1968 р.

Альфвен Ханнес – 1970 р.

Вільсон Роберт Вудро – 1978 р.
VІІ. Підсумок уроку.

Підведення підсумків турніру проходить під девізом:



У битвах життя не завжди перемагає найсильніший і найрозумніший.

Але рано чи пізно перемагає той, хто вважав себе здатним на перемогу.

Теодор Рузвельт

Експерти визначають та оголошують команду-переможницю. Учні, які набрали найбільшу кількість балів протягом уроку, «нагороджуються» високими оцінками.



Вчитель підкреслює той факт, що під час турніру учні мали змогу відповісти на 50 запитань, розв’язати 16 вправ, 23 рівняння та 12 нерівностей, а також вивчити новий тип показникових рівнянь.
VІІІ. Домашнє завдання.

  1. Повторити теоретичний матеріал, необхідний для розв’язування показникових рівнянь та нерівностей.

  2. Розв’язати рівняння:

  1. 7х = 9х;

  2. 4х+1 + 4∙3х = 3х+2 – 4х;

  3. .


База даних захищена авторським правом ©refs.in.ua 2016
звернутися до адміністрації

    Головна сторінка