Приклади задач, що приводять до поняття інтеграла. Визначений інтеграл. Формула Ньютона -лейбніца



Скачати 149.38 Kb.
Дата конвертації21.02.2016
Розмір149.38 Kb.

Нестандартний урок з алгебри та початків аналізу в 11 класі

Тема: Приклади задач, що приводять до поняття інтеграла. Визначений інтеграл. Формула Ньютона –Лейбніца.

Мета:


  • Ввести поняття криволінійної трапеції, визначеного інтеграла, навчити застосовувати формулу Ньютона-Лейбніца до обчислення визначеного інтеграла;

  • Формування уявлень про ідеї і методи математики та її роль у пізнанні навколишнього світу, розвиток мислення, розумової активності, пізнавальної самостійності, потреби у самоосвіті;

  • Формування наукового світогляду та загальнолюдських духовних цінностей.

Тип уроку: комбінований (перевірка раніше здобутих знань і засвоєння нових за допомогою комп’ютера).

Форма проведення: урок-телеміст.

Метод навчання: проблемний і проблемно-пошуковий.

Обладнання:



  • Компютери;

  • Плакат-епіграф уроку;

  • . Портрети І. Ньютона і Г. Лейбніца

  • Дидактичний роздавальний матеріал (картки індивідуальних досягнень учнів, картки з завданнями);

  • Плакати з основними формулами;

  • Компютерні презентації учнів;

  • Компютерна програма GRAN 2D;

  • Публікації, підготовлені учнями за допомогою програми Publisher, кросворд.

Хід уроку

І. Організаційний момент.

ІІ. Актуалізація і систематизація опорних знань, навичок і вмінь.

Вступне слово вчителя

Увага! Увага! Розпочинаємо урок-телеміст, який будемо проводити між представниками різних творчих та наукових кіл. Це: «Науковці», «Фізики», «Історики», «Математики-практики», «Журналісти» та «Психологи».

Для безперебійної роботи нашого телемосту проведемо перевірку зв’язку. Підпишіть картку індивідуальних досягнень і картку №1, завдання якої будете виконувати. І так – «Телерозминка» з теми «Первісна та інтеграл». Результати взаємоперевірки занотовуйте до карток ваших індивідуальних досягнень. Ефірний час у нас обмежений, тому працюємо швидко і продуктивно.

1. Перевірка і повторення базових знань

Працюємо над завданнями 6 хвилин.

Функція

xn



sinx

cos x






Загальний вигляд первісної



















«Телерозминка»

Заповніть таблицю

Кожна правильна відповідь - 0,5 балів



2. Повторення і систематизація основних теоретичних положень.

Заповніть пропуски у тексті

Кожна правильна відповідь – 0,5 балів



  1. Функція __ називається первісною функції ___ на деякому проміжку, якщо для всіх х із цього проміжку виконується рівність: __________________ .

  2. Нехай функція f має на деякому проміжку первісну. Сукупність усіх первісних для функції f(x) на проміжку називається _________ ___________ цієї функції і позначають _____. Функцію ____ називають _________ _________ .

  3. Нехай функція F(x) є первісною для f(x) на деякому проміжку. Тоді для довільної _________ __ функція _________ також є первісною для функції __ .

  4. Нехай функція __ є первісною для ___ на деякому проміжку. Тоді будь-яка первісна для функції f(x) цьому проміжку може бути записана у вигляді F(x) + C, де С – деяка стала (число).

3. Перевірка і поглиблення рівня засвоєння учнями знань і вмінь.

Розв’язування різнорівневих завдань за власним вибором

Знайдіть невизначений інтеграл.

(1 бал) І рівень Відповідь:

(2 бали) ІІ рівень Відповідь:

(3 бали) ІІІ рівень Відповідь:

Закінчили, помінялись завданнями, відкрили на робочому столі комп’ютера папку «Інтеграл», увійшли у документ «Перевірка».

ПЕРЕВІРКА

Перевірте виконані завдання і виставте отримані бали до карток індивідуальних досягнень



1). Заповніть таблицю

Функція

xn



sinx

cosx






Загальний вигляд первісної



Ln|x|+C

-cosx+C

sinx + C

tgx+C

-ctgx + C

Кожна правильна відповідь - 0,5 балів

2). Заповніть пропуски у тексті

Кожна правильна відповідь – 0,5 балів



  1. Функція _F(x)_ називається первісною функції f(x)на деякому проміжку, якщо для всіх х із цього проміжку виконується рівність:F /(x) = f(x).

  2. Нехай функція f має на деякому проміжку первісну. Сукупність усіх первісних для функції f(x) на проміжку називається _невизначеним інтегралом цієї функції і позначають f(x)dx. Функцію f(x) називають підінтегральною функцією .

  3. Нехай функція F(x) є первісною для f(x) на деякому проміжку. Тоді для довільної постійної С функція F(x) + C також є первісною для функції f(x) .

  4. Нехай функція F(x) є первісною для f(x) на деякому проміжку. Тоді будь-яка первісна для функції f(x) цьому проміжку може бути записана у вигляді F(x) + C, де С – деяка стала (число).

3). Розв’язування різнорівневих завдань за власним вибором

Знайдіть невизначений інтеграл.




- 3tgx + C
(1 бал) І рівень Відповідь:


1/2sin2x + C

(2 бали) ІІ рівень Відповідь:

(3 бали) ІІІ рівень Відповідь:

Перевіряємо і оцінюємо.

Отримані бали заносимо до карток досягнень.

Картка індивідуальних досягнень

Прізвище _______________ клас ___________



Етапи роботи

Таблиця первісних

Теорія

Різнорівневі завдання

Обчислення інтегралів

Додаткові бали

Підсумок

Бали



















ІІІ. Мотивація навчальної діяльності учнів і повідомлення теми, мети і завдань уроку.

Вчитель: Телерозминку закінчено.

На попередніх уроках ми розглянули, яка задача геометричного змісту привела до поняття первісної і невизначеного інтеграла: перед Лейбніцем стояла проблема знайти рівняння кривої, що проходить через задану точку, якщо відомий кутовий коефіцієнт проведеної до неї дотичної. А також розглянули, розв’язок якої задачі фізичного змісту привів Ньютона до цих понять, а саме – за відомим законом залежності швидкості від часу знайти закон пройденого шляху від часу. Потреби розв’язування задач геометрії, фізики та багатьох інших практичних задач вимагали подальшого розвитку математичного апарата.

На цьому уроці-телемості ми розглянемо задачі, які привели до поняття визначеного інтеграла й розглянемо правила його обчислення. Тема, яку ми сьогодні будемо обговорювати : «Приклади задач, що приводять до поняття інтеграла. Визначений інтеграл. Формула Ньютона-Лейбніца».

Зараз прошу кожну групу повідомити, які актуальні проблеми з оголошеної теми ви з’ясовували.



«Науковці»

Наша творча група самостійно з’ясовувала метод, яким Лейбніц ввів поняття визначеного інтеграла.



«Фізики»

Наша творча група самостійно з’ясовувала метод, яким Ньютон ввів поняття визначеного інтеграла.



«Практики»

Нашій творчій групі стало цікаво, а як обчислюється визначений інтеграл?



«Історики»

Наша творча група готувала історичну довідку про І.Ньютона та Г. Лейбніца.



«Журналісти»

Ми, як ЗМІ будемо висвітлювати основні моменти сьогоднішнього телемосту.



«Психологи»

Ми будемо досліджувати вплив отриманої інформації на розумові здібності індивідуумів



Вчитель: А спільне завдання нашого уроку-телемосту – ввести поняття визначеного інтеграла і навчитись застосовувати формулу Ньютона – Лейбніца для обчислення визначеного інтеграла.

Епіграфом уроку-телемосту є слова видатної жінки-математика С. Ковалевської: «Серед усіх наук, що відкривають шлях до пізнання законів природи, найвеличнішою є математика».Отже будемо опановувати нові математичні знання щоб нам відкрились життєві істини.

(Після виступу кожна група роздає учасникам інших груп напрацьований матеріал)



ІІІ. Сприймання і усвідомлення нового матеріалу.

І. Перше слово надається «Науковцям» (Творчою групою підготовлена комп’ютерна презентація)

Всі ми вміємо обчислювати площі прямокутника, трикутника, трапеції, паралелограма, довільного многокутника, а також площі круга та його частин. Виникає питання: як обчислити площу плоскої фігури, обмеженої будь-якою кривою? Виявляється, що розв’язування такої задачі можливе за певних умов, якщо плоска фігура, яку ми розглядаємо – КРИВОЛІНІЙНА ТРАПЕЦІЯ.

( Група пояснює геометричну задачу що приводить до поняття визначеного інтеграла за допомогою слайдів.)



Після пояснення «журналісти» вивішують на дошці запис визначеного інтеграла





Напрацьований матеріал роздають кожному учневі

ІІ. Вчитель пропонує на картці №2 виконати завдання.

№1


(Учні працюють у парах)

Випишіть визначені інтеграли, які відповідають площам фігур зображених на рисунках.



а) ; б)х3 dx; в) lnxdx; г) (1+х2 )dx;

д)lnxdx; є) exdx; ж) x3dx.

1.

2.

3.

4.

х lim Sn

у

х

у



х

у

х



у

1

2



0

2

1



-1

1

2



у = х3

у = lnх

у = 1-х2

1

у = ех



Після виконання завдання учні коментують свій вибір.

ІІІ. Слово надається групі «Фізиків»

(Творчою групою підготовлена комп’ютерна презентація )

Група пояснює фізичну задачу що приводить до поняття визначеного інтеграла за допомогою слайдів.





Напрацьований матеріал роздають кожному учневі.

V. Слово надається «Практикам»

1. Творчою групою підготовлена комп’ютерна презентація

(Група виводить формулу Ньютона-Лейбніца, наводить приклади застосування формули)





Напрацьований матеріал роздають кожному учневі.

«Журналісти» на дошці вивішують плакат з формулою

f(x)dx = F(в) – F(a)

2. «Практики» на дошці наводять приклади обчислення визначених інтегралів, де звертають увагу на форму запису обчислень.



1)

2)

VІ. Вчитель пропонує виконати у зошиті завдання, яке після виконання перевіряється за допомогою програми GRAN 2D .

3. Обчислити

а) х3dx; б) ; в) (3х-1)dx; г).

Кожна правильна відповідь – 1 бал.

Отримані бали заносимо до карток досягнень.

а) 20; б) 1; в)1 ½; г) 91/3



VІІ. Слово надається «Історикам»

Група «Істориків» розповідає про вчених І. Ньютона та Г. Лейбніца у вигляді костюмованої міні-сценки.



VІІІ. Доповнюють « Журналісти»

Ньютон і Лейбніц

Які натхненні Ньютон з Лейбніцем були,

Якими барвами їх формули заграли,

Яку могуть побачили, коли

Зійшлись їх похідні і інтеграли!

Зійшлись – немов злилися два струмки

В стократ потужнішу ріку єдину.

Їх теоремі давній завдяки

Те, що колись долали вчені за віки,

Тепер школяр долає за годину.



Демонструють виставку публікацій, виконаних учнями за комп’ютерною програмою «Publisher».

VІ. Підсумок уроку.

ІХ. Слово надається «Психологам»

1) Група психологів з’ясовує, який емоційний стан учасників уроку-телемосту на кінець уроку:

  • Чи сподобався вам урок-телеміст?

  • Чим сподобався вам урок?

  • Що нового ви дізналися, навчилися під час уроку?

2) А як засвоїли деякі питання уроку та чи не забули вивчене на попередніх – перевіряється за допомогою кросворда.

Питання кросворду

  1. Першу букву якого слова нагадує знак інтеграла? (Summa - сума)

  2. Хто із відомих математиків-фізиків розглянув фізичний зміст інтеграла? (Ньютон)

  3. Хто із відомих математиків розглянув математичний зміст інтеграла? (Лейбніц)

  4. Як називається трапеція, площу якої ми знаходимо за допомогою визначеного інтеграла? (Криволінійна)

  5. Як називається функція, яка стоїть пі знаком інтеграла? (Підінтегральна)

  6. Як називається множник dx в підінтегральному виразі? (Диференціал)

  7. Як називається операція обернена до операції диференціювання? (Інтегрування)


















1

 

м

 





































2

 

 

 

о

 

















































л

 

 

 

 

 

 






















4

 

 

 

о

 

 

 

 

 

 

 

























5

 

д

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

ц

 

 

 











































і































Х. Домашнє завдання:

§ 24-25, запитання після параграфів.



63 І р.- (1-4); ІІ р.- (5-9) ; ІІІ р. – (9-12);

Побудувати криволінійну трапецію і записати визначений інтеграл згідно побудови..

КСШ № 118, вчитель математики Бондар Наталя Андріївна



База даних захищена авторським правом ©refs.in.ua 2016
звернутися до адміністрації

    Головна сторінка