Робоча програма навчальної дисципліни «Чисельні методи»



Скачати 263.24 Kb.
Дата конвертації18.03.2016
Розмір263.24 Kb.


Міністерство освіти і науки, молоді та спорту України

Харківський національний університет імені В.Н. Каразіна

Кафедра молекулярної і медичної біофізики
ЗАТВЕРДЖУЮ

Перший проректор

___________________________

“______”_______________20___ р.



РОБОЧА ПРОГРАМА НАВЧАЛЬНОЇ ДИСЦИПЛІНИ


«Чисельні методи»  

(шифр і назва навчальної дисципліни)

напряму підготовки_________0702 “прикладна фізика”_________________________

(шифр і назва напряму підготовки)

для спеціальності 7.070204 “біофізика” _________________________

(шифр і назва спеціальності (тей)

спеціалізації_____________________________________________________________

(назва спеціалізації)

факультету ___РФФ________________________________________

(назва факультету)


Кредитно-модульна система

організації навчального процесу

Харків – 2012

«Чисельні методи»___. Робоча програма навчальної дисципліни для студентів

(назва навчальної дисципліни)

за напрямом підготовки 0702 «прикладна фізика», спеціальністю 7.070204 “біофізика”. „___” ________, 2012. - __ с.

Розробники: Берест Володимир Петрович, к.ф.-м.н., доцент кафедри молекулярної та медичної біофізики, доцент

Робоча програма затверджена на засіданні кафедри молекулярної і медичної біофізики РФФ
Протокол № від. “ 1  липня 2012 р.
Завідувач кафедрою молекулярної і медичної біофізики
_______________________ ( Гордієнко Є.О. )

(підпис) (прізвище та ініціали)

“_____”___________________ 20___ р
Схвалено методичною комісією

__РФФ_____________________________________________________________

Протокол № ___ від. “____”________________20___ р.
“_____”________________20__ р. Голова _______________( _Чорногор Л.Ф.________)

(підпис) (прізвище та ініціали)



  1. Опис навчальної дисципліни





Найменування показників

Галузь знань, напрям підготовки, освітньо-кваліфікаційний рівень

Характеристика навчальної дисципліни

денна форма навчання

заочна форма навчання

Кількість кредитів – 2,5

Галузь знань

_______________

(шифр і назва)


Нормативна


Напрям підготовки

07.02 прикладна фізика

(шифр і назва)



Модулів – 3

Спеціальність (професійне

спрямування):



7.070204 - біофізика


Рік підготовки:

3-й



Індивідуальне науково-дослідне завдання ___________

(назва)


Семестр

Загальна кількість годин - 81

5-й









Лекції

Тижневих годин для денної форми навчання:

аудиторних – 3

самостійної роботи студента - 3


Освітньо-кваліфікаційний рівень:

бакалавр


36 год.

год.

Практичні, семінарські

18 год.

год.

Лабораторні

год.

год.

Самостійна робота

27 год.

год.

ІНДЗ: год.

Вид контролю: залік


Примітка.

Співвідношення кількості годин аудиторних занять до самостійної і індивідуальної роботи становить:

для денної форми навчання – 2/1

для заочної форми навчання -


1 кредит ECTS – 36 годин.


  1. Мета та завдання навчальної дисципліни

Метою дисципліни є вивчення основних ідей чисельних методів розв’язання математичних задач, що моделюють різні процеси, особливостей та областей використання чисельних методів.

Завданням дисципліни є навчити студентів методам розв’язання за допомогою комп’ютера задач прикладної фізики, біофізики та медицини.


У результаті вивчення даного курсу студент повинен

знати:

- основні поняття, пов’язані з похибками обчислень, основні джерела похибок при розрахунках на ЕОМ, способи зменшення похибок;



- методи апроксимації функцій з використанням рядів, інтерполяційних многочленів і сплайнів;

- методи побудови емпіричних формул і визначення параметрів емпіричної залежності;

- методи чисельного диференціювання, способи визначення похибки і поліпшення апроксимації чисельного диференціювання;

- методи чисельного інтегрування, способи побудови адаптивних алгоритмів чисельного інтегрування;

- прямі методи розв'язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь, обчислення визначника і зворотної матриці;

- ітераційні методи розв’язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь;

- методи знаходження власних значень і власних векторів матриць;



- методи чисельного розв’язання нелінійних (алгебраїчних і трансцендентних) рівнянь і систем нелінійних рівнянь;

- методи розв’язання задач безумовної оптимізації і задач математичного програмування;

- методи чисельного розв’язання звичайних диференційних рівнянь;

- методи чисельного розв’язання основних типів рівнянь з частковими похідними за характерних для прикладної фізики початкових і граничних умов;

- методи чисельного розв’язання інтегральних рівнянь.

вміти:

  • обрати чисельний метод, яким необхідно скористатися при вирішенні конкретної обчислювальної задачі біофізики;

  • використати персональний комп’ютер для вирішення завдання обраним методом і вміти користуватися бібліотеками стандартних або пакетами проблемно-орієнтованих програм;

  • скласти алгоритм і програму розрахунку на комп’ютері;

  • виконати розрахунок і оцінити точність отриманих результатів; вміти представити отримані результати у вигляді блок-схем, таблиць і графіків;

  • аналізувати отримані результати і давати їм відповідну фізичну інтерпретацію.


Курс базується на дисциплінах “Математичний аналіз”, “Лінійна алгебра”, “Диференційні та інтегральні рівняння”, “Методи математичної фізики”, “Основи програмування” і є важливою складовою природничонаукової підготовки фахівця.


  1. Програма навчальної дисципліни

Модуль 1. Наближене обчислення функцій. Апроксимація похідних та інтегралів.

Тема 1. Вступ (1 год.)

Етапи розв’язання задачі на комп’ютері. Математичні моделі. Поняття чисельного методу.

Тема 2. Точність обчислювального експерименту (1 год.)

2.1. Наближені числа. Похибки обчислень. Джерела похибок. Способи зменшення похибок.

2.2. Поняття стійкості, коректності та збіжності чисельного методу.

Тема 3. Апроксимація функцій (6 год.)


    1. Поняття про наближення функцій. Постановка завдання. Точкова апроксимація. Рівномірне наближення.

    2. Використання рядів. Апроксимація елементарних функцій. Застосування поліномів Чебишева. Обчислення многочленів за схемою Горнера. Раціональні наближення.

    3. Інтерполяція. Лінійна квадратична інтерполяція. Сплайни. Многочлен Лагранжа. Многочлен Ньютона. Многочлен Ерміта. Точність інтерполяції. Інтерполяція періодичних функцій. Інтерполяція функцій двох змінних.

    4. Підбір емпіричних формул. Характер дослідних даних. Поняття емпіричної формули. Способи побудови емпіричної залежності та визначення її параметрів. Метод найменших квадратів.

Тема 4. Чисельне диференціювання та інтегрування (4 год.).

4.1. Чисельне диференціювання. Апроксимація похідних. Похибка чисельного диференціювання. Використання інтерполяційних формул. Метод невизначених коефіцієнтів. Шляхи поліпшення апроксимації.

4.2. Чисельне інтегрування. Методи прямокутників і трапецій. Метод Сімпсона. Використання сплайнів. Уточнення значення інтеграла за схемою Ейткена. Адаптивні алгоритми. Огляд інших методів чисельного інтегрування (Ньютона-Котеса, Гауса, Ерміта, Маркова, Філона). Особливі випадки чисельного інтегрування (розриви, невласні інтеграли). Кратні інтеграли.
Модуль 2. Чисельні методи розв’язання рівнянь та систем рівнянь. Основи оптимізації.

Тема 5. Системи лінійних рівнянь (4 год.)

5.1. Лінійні системи. Методи розв’язання лінійних систем. Обчислення визначника, оберненої матриці, власних значень матриці.

5.2. Прямі методи розв’язання систем лінійних рівнянь. Метод Гаусса. Визначник і обернена матриця. Метод прогонки. Огляд інших прямих методів (Жордана, квадратного кореня, оптимального виключення, клітинні).

5.3. Ітераційні методи. Уточнення розв’язку. Метод Гауса-Зейделя.

5.4. Задача на власні значення. Метод обертань. Трьохдиагональні матриці. Часткова проблема власних значень.

Тема 6. Нелінійні рівняння (3 год.).

6.1. Рівняння з одним невідомим. Метод розподілу відрізка навпіл. Метод хорд. Метод Ньютона. Метод простої ітерації.

6.2. Розв’язання алгебраїчних рівнянь (дійсні та комплексні корені).

6.3. Системи рівнянь. Метод простої ітерації. Метод Ньютона.



Тема 7. Методи оптимізації (5 год.).

7.1. Основні поняття. Задачі оптимізації. Постановка задачі.

7.2. Одновимірна оптимізація. Задачі на екстремум. Методи пошуку. Метод золотого перетину.

7.3. Багатовимірні задачі оптимізації. Метод покоординатного спуску. Метод градієнтного спуску.

7.4. Задачі з обмеженнями. Метод штрафних функцій. Лінійне програмування. Геометричний метод. Симплекс-метод.
Модуль 3. Чисельні методи розв’язання диференційних та інтегральних рівнянь.

Тема 8. Звичайні диференційні рівняння (4 год.).

8.1. Однокрокові методи розв’язання задачі Коші. Багатокрокові методи. Підвищення точності результатів.

8.2. Крайові задачі. Метод стрільби. Методи скінченних різниць.

8.3. Задачі на власні значення. Різницевий метод. Метод Гальоркіна.



Тема 9. Рівняння в частинних похідних (6 год.).

9.1. Апроксимація частинних похідних (сітки і шаблони). Побудова різницевих схем. Стійкість і збіжність різницевих схем.

9.2. Крайові задачі для еліптичних рівнянь. Варіаційні і варіаційно-різницеві методи розв’язання. Стаціонарні різницеві схеми. Прямі та ітераційні методи обчислення різницевого розв’язку.

9.3. Різницеві схеми для гіперболічних рівнянь в частинних похідних. Розв’язання одновимірного хвильового рівняння.

9.4. Різницеві схеми для параболічних рівнянь в частинних похідних. Розв’язання одновимірного рівняння дифузії.

Тема 10. Інтегральні рівняння (2 год.).

10.1. Види інтегральних рівнянь. Коректно поставлені завдання. Різницевий метод розв’язання. Розв’язування методом Гальоркіна.

10.2. Некоректні задачі. Регуляризуючий алгоритм. Різницеві схеми.

10.3. Методи розв’язання рівнянь типу згортки на кінцевому проміжку.


4. Структура навчальної дисципліни

Назви модулів і тем

Кількість годин

Денна форма

Заочна форма

Усього

у тому числі

Усього

у тому числі

л

п

лаб

інд

ср

л

п

лаб

інд

ср

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

Модуль 1

Тема 1.

1

1































Тема 2.

2

1

1







2



















Тема 3

10

6

4







6



















Тема 4

8

4

4







3



















Разом за модулем 1

21

12

9







11



















Модуль 2

Тема 5

6

4

2







3



















Тема 6

5

3

2







3



















Тема 7

7

5

2







7



















Разом за модулем 2

18

12

6







13



















Модуль 3

Тема 8

5

4

1




























Тема 9

8

6

2




























Тема 10

2

2










3



















Разом за модулем 3

15

12

3







3


















Усього годин


54

36

18







27




















5. Теми семінарських занять

Навчальним планом не передбачені.
6. Теми практичних занять


з/п


Назва теми

Зміст заняття

Кількість

годин


1

Дії над наближеними числами.

Оцінка абсолютної і відносної похибок наближених чисел.
Оцінка похибки величин, заданих функціональними співвідношеннями, при відомих значеннях похибок вихідних даних.


1

2

Апроксимація функцій

Побудова раціонального наближення для функції, заданої степеневим рядом.
Перетворення заданого многочлена в многочлен меншого ступеня. Оцінка допустимої похибки.

1

3

Інтерполяція функцій і побудова емпіричних формул

Визначення значень функції, заданої таблично, в міжвузлових точках. Використання інтерполяційних многочленів Лагранжа, Ньютона. Порівняння з результатом лінійної інтерполяції.
Визначення параметрів емпіричної залежності методом найменших квадратів.

3

4

Чисельне диференціювання

Обчислення першої та другої похідних функції, заданої таблицею. Використання інтерполяційних многочленів Ньютона і Лагранжа.
Використання методу Рунге-Ромберга для уточнення значення похідної.


2

5

Чисельне інтегрування.

Розрахунок значення певного означеного інтеграла. Використання формули прямокутників з напівцілими вузлами і формули трапецій. Отримання уточненого значення за результатами обчислень.
Використання формули Сімпсона. Оцінка похибки.


2

6

Розв’язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь.

Розв’язання системи рівнянь із заданою похибкою методом Гауса з вибором головного елемента.
Використання методу Гауса-Зейделя для ітераційного розв’язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь.

2

7

Розв’язання нелінійних рівнянь.

Визначення кореня заданого нелінійного рівняння методом Ньютона з необхідною точністю.
Розв’язання системи двох нелінійних рівнянь методом Ньютона з необхідною точністю.

2

8

Розв’язування задач оптимізації.

Визначення оптимального значення проектного параметра, що забезпечує мінімум заданої цільової функції. Використання методу золотого перетину.

2

9

Розв’язання звичайних диференційних рівнянь і рівнянь в частинних похідних.

Розв’язання задачі Коші методами Ейлера і Рунге-Кутта.
Розв’язання крайової задачі різницевим методом.
Побудова різницевої схеми для розв’язання задачі Діріхле.


3


7. Теми лабораторних занять

Навчальним планом не передбачені.
8. Самостійна робота

Самостійна робота студентів полягає у виконанні двох індивідуальних домашніх завдань і двох аудиторних контрольних робіт. У семестрі кожен студент виконує по дві аудиторні контрольні роботи та по два індивідуальних домашніх завдання. Аудиторні контрольні роботи проводяться по 1 годині кожна під час двох проміжних атестацій. Індивідуальні домашні завдання (ІДЗ) видаються на практичних заняттях на початку вивчення відповідних тем. Теми ІДЗ: «Інтерполяційні многочлени», «Системи лінійних алгебраїчних рівнянь», «Чисельне інтегрування», «Диференціальні рівняння». ІДЗ виконуються на папері і включають: титульний аркуш, бланк-завдання, розрахункові формули, результати розрахунків у вигляді таблиць, графіки роздруковані з комп'ютера, висновки та список використаних джерел. Розрахунки можна виконати на ПК з використанням системи символьної математики MathCAD або пакета Maple.




з/п


Назва теми

Кількість

годин


1

Обчислення значення функції, заданої степеневим рядом. Використання схеми Горнера.

2

2

Визначення параметрів емпіричної залежності, апроксимуючої заданий набір експериментальних даних з використанням методу середніх.

3

3

Ізолювання коренів алгебраїчних та трансцендентних рівнянь.

3

4

Використання методу прогонки для розв’язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь з трьохдіагональною матрицею коефіцієнтів.

3

5

Ряд Фур’є: вид и формули його коефіцієнтів.

Розкладення функції в ряд Фур’є (на прикладі многочлена порядку n≤3). Властивості функції та структура її ряду Фур’є.

3

6

Обчислення визначених інтегралів методом Монте-Карло.

3

7

Розв’язання задач лінійного програмування геометричним методом.

2

8

Побудова штрафних функцій для вирішення задач математичного програмування.

2

9

Використання генетичних алгоритмів для оптимізації

3

10

Методи розв’язання сингулярних рівнянь

3




Разом

27


9. Індивідуальне навчально - дослідне завдання

Навчальним планом не передбачене.
10. Методи навчання
Основні види занять та особливості їх проведення при вивченні даного курсу

Лекційні заняття

Побудовані як типові лекційні заняття відповідно до вимог державних стандартів для підготовки фахівців природничих спеціальностей. При викладі теоретичного матеріалу, з урахуванням його великого обсягу, а також особливостей спеціальності, для якої призначена дана дисципліна, частина аналітичних викладок (доведення теорем, обгрунтувань збіжності методу і т.д.) може бути опущена або залишена для самостійного вивчення студентом. Аудиторне навантаження становить 2 години на тиждень.



Практичні заняття

Практики побудовані як типові практичні заняття з обчислювальної математики відповідно до вимог державних стандартів для підготовки фахівців нематематиків. Основна увага на практичних заняттях приділяється розвитку у студентів навичок застосування чисельних методів, що не потребують великої кількості обчислень з використанням калькулятора. Відбувається ретельний аналіз отриманого рішення, наводяться переваги методу розв’язання поставленого завдання, його особливості та недоліки. Обговорюються галузі застосування розглянутого методу. Аудиторне навантаження становить 1 годину на тиждень.



Взаємозв’язок аудиторної та самостійної роботи студентів при вивченні курсу

У ході вивчення даного курсу студент слухає лекції з основних тем, відвідує практичні заняття, займається індивідуально. Дисципліною не передбачено повторне вивчення розділів вищої математики, знання яких необхідно для розуміння викладеного матеріалу. Перелік необхідних відомостей з вищої математики наведений вище. Ці розділи з вищої математики слід планувати в якості самостійної роботи студентів при підготовці до лекційних занять. Виняток становлять розділи, присвячені теорії ймовірностей та матстатистиці. Навчальним планом передбачені консультації, які студент може відвідувати за бажанням.



Методичні вказівки щодо самостійного виконання практичних завдань.

При виконанні індивідуальних домашніх завдань (ІДЗ) необхідно використовувати теоретичний матеріал, робити посилання на відповідні літературні джерела, з яких беруться теореми, формули. ІДЗ має буди докладно викладеним і містить: титульний аркуш, завдання, докладні розрахунки, виконані за допомогою калькулятора або персонального комп’ютера, необхідні пояснювальні посилання, графіки, таблиці, висновки та список використаних джерел.


11. Методи контролю
Програма дисципліни в себе включає обов’язкові атестації: дві проміжні і одну підсумкову.

Проміжні атестації проводяться у формі контрольних робіт і містять питання теоретичного і практичного характеру, на які студент дає письмові відповіді. Контрольна робота розрахована на одну академічну годину кожна. За проміжні атестації студентам виставляються бали.

Підсумкова атестація з дисципліни проводиться у формі заліку. Для допуску до нього необхідно успішно пройти дві проміжні атестації, здати індивідуальні завдання і відвідати дві третини практичних занять. Результати проміжних атестацій враховуються при виведенні підсумкової оцінки.

В якості додаткового виду контролю використовуються індивідуальні домашні завдання (ІДЗ) на розв’язання різних задач із застосуванням калькулятора або ПК. Рекомендована кількість ІДЗ - три.

Дисципліна «Чисельні методи» завершується заліком. Обов’язковою умовою допуску студента до заліку є успішне виконання двох індивідуальних домашніх завдань і двох контрольних робіт. Залік проводиться письмово, в білети включаються теоретичні і практичні питання. Для успішного складання заліку студент повинен продемонструвати знання основних теоретичних положень досліджуваної дисципліни і показати свої навички застосування теорії при розв’язанні конкретних практичних завдань. При наявності суперечок або апеляцій щодо виставленої оцінки викладач може уточнити рівень знань студентів в усній формі.
12. Розподіл балів, які отримують студенти

для заліку


Поточне тестування та самостійна робота

Сума

Модуль 1

Модуль 2

Модуль 3




Т 1

Т 2

Т 3

Т 4

Т 5

Т 6

Т 7

Т 8

Т 9

Т 10




5

5

15

15

15

15

5

15

5

5

100

Т 1, Т 2, ... Т 10 – теми модулів

Для кожної теми модуля вказати форми контролю навчальних здобутків студентів та критерії оцінювання.

Для кожного модуля вказати мінімальну кількість балів, які повинен набрати студент для зарахування модуля.

Вказати умови допуску студента до підсумкового семестрового контролю.


Шкала оцінювання


Сума балів за всі види навчальної діяльності протягом семестру

Оцінка ECTS

Оцінка за національною шкалою

для екзамену, курсової роботи (проекту), практики

для заліку

90 – 100

А

відмінно

зараховано



80-89

В

добре

70-79

С

60-69

D

задовільно

50-59

Е

1-49

FX

незадовільно

не зараховано


13. Методичне забезпечення

У процесі вивчення дисципліни «Чисельні методи» крім теоретичного матеріалу, наданого викладачем під час лекційних занять, є необхідність у використанні навчальної літератури.

Найбільш докладно і просто теорія більшості тем викладена в підручнику Демидович Б.П., Марон І.А. Основи обчислювальної математики. - М.: ГРФМЛ, 1966.

Приклади вирішення практичних завдань містяться в посібниках:

Демидович Б.П., Марон І.А., Шувалова Е.З. Чисельні методи аналізу .- М.: Наука, 1966;

Бахвалов Н.С., Лапін А.В., Чіжонков Є.В. Чисельні методи в задачах і вправах. - М.: Вища школа, 2000.

Необхідні для розрахунків таблиці наведені в довідниках.

Більш докладний виклад матеріалу курсу можна знайти в підручниках і посібниках, зазначених у списку рекомендованої літератури.


14. Рекомендована література

Базова

  1. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы: Учеб. пособие для вузов. - М.: Наука, 1987. - 598 c.

  2. Самарский А.А. Введение в численные методы. - М.: Наука, 1987. - 286 c.

  3. Самарский А.А. Численные методы. - М.: Наука, 1989. - 430 c.

  4. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. – СПб: Невский диалект: Лаборатория Базовых Знаний, 2002. - 630 c.

  5. Бахвалов Н.С., Лапин А.В., Чижонков Е.В. Численные методы в задачах и упраженениях. - М.: Высшая школа, 2000. - 190 c.

  6. Мэтьюз Д.Г., Финк К.Д., Козаченко Л.Ф. Численные методы: Использование MATLAB. - К.: Вильямс, 2001. - 713 c.

  7. Демидович Б.П., Марон И.А., Шувалова Э.З. Численные методы анализа: Приближение функций, дифференциальные и интегральные уравнения: Учеб.пособие для втузов. - М.: Б.и., 1963. - 400 c.

  8. Волков Е.А. Численные методы. - М.: Наука, 1987. - 428 c.

  9. Данилина Н.И., Дубровская Н.С., Кваша О.П. Численные методы. - М.: Высшая школа, 1976. - 368 c.

  10. Дэннис Дж. Численные методы безусловной оптимизации и решения нелинейных уравнений. – 1988. - 440 c.


Допоміжна

  1. Гладков Л. А., Курейчик В. В., Курейчик В. М. Генетические алгоритмы: Учебное пособие. — 2-е изд. — М: Физматлит, 2006. — С. 320.

  2. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач: Учеб.пособие для вузов. - М.: Наука, 1988. - 549 c.

  3. Вержбицкий В.М. Численные методы: Линейная алгебра и нелинейные уравнения: Учеб.пособие для вузов. - М.: Высшая школа, 2000. - 266 c.

  4. Турчак Л.И., Плотников П.В. Основы численных методов: Учеб. пособие для вузов. - М.: Физматлит, 2002. - 304 c.


15. Інформаційні ресурси



База даних захищена авторським правом ©refs.in.ua 2016
звернутися до адміністрації

    Головна сторінка