Розв’язування лінійних нерівностей з модулями



Скачати 89.34 Kb.
Дата конвертації03.03.2016
Розмір89.34 Kb.
Тернопіль 2014


Козбур Галина Євгенівна

вчитель математики


Розв’язування лінійних нерівностей з модулями

для 8 класу






Тема: Розв’язування лінійних нерівностей з модулями
Мета: закріпити навички розв’язування учнями системи та сукупності нерівностей з однією змінною, доповнити знання учнів про схему дій при розв'язуванні нерівностей з модулями з однією змінною, що зводяться до лінійних, систематизувати знання учнів з даної теми; розвивати логічне мислення, комутативні, інтелектуальні здібності, вміння аналізувати, зіставляти, робити висновки.

Тип уроку: формування та закріплення знань, вироблення вмінь та навичок

Хід уроку

І. Організаційний момент

II. Перевірка домашнього завдання
ІІІ. Актуалізація опорних знань та вмінь учнів

  • У яких випадках кажуть, що треба розв’язати систему нерівностей? (якщо треба знайти спільний розв’язок двох або кількох нерівностей).

  • Що означає розв’язати систему нерівностей? ( знайти множину її розв’язків).

  • У яких випадках кажуть, що треба розв’язати сукупність нерівностей? (якщо треба знайти об’єднання множин розв’язків нерівностей).

  • За допомогою яких символів записують систему та сукупність нерівностей? (фігурної та квадратної дужки).


Усні вправи


  1. Розв'яжіть нерівність:

1) 2х > 4; 2) –х ≥ 3; 3) –x ≤ 0; 4) х ≤ 5; 5) < -2; 6) > 10.

  1. Знайдіть переріз та об'єднання проміжків, що відповідають
    парі нерівностей:

1) х ≥ 2 і 6; 2) х ≥ 2 і х ≤ 6; 3) х ≥ 6 і х ≤ 2.



  1. (х ≥ 6 –переріз)

  2. (2 ≤ х ≤ 6)

  3. (немає озв’язків)

  4. (х ≥ 3 – об’єднання)

  5. (х є R )

  6. (∞; 2 ]∪[6 ; ∞)





ІV. Формування знань

Основні кроки розв’язування системи нерівностей з однією змінною

1. Розв'язуємо кожну нерівність системи.

2. Зображуємо множину розв’язків кожної нерівності на одній координатній прямій.

3. Знаходимо переріз числових проміжків, записуємо відповідь.


Приклад. Розв’яжемо систему нерівностей

Розвязання

х


Відповідь: .

Основні кроки розв'язування сукупності нерівностей з однією змінною

1. Розв'язуємо кожну нерівність сукупності.

2. Зображуємо множину розв'язків кожної нерівності на одній координатній прямій.

3. Знаходимо об’єднання числових проміжків, записуємо відповідь.



Приклад. Знайдемо розв'язок сукупності нерівностей

Розв’язання

x (-∞; - 0,5) (3; +).

h:\62.png

Відповідь: (-∞; - 0,5) (3; +).


Усні вправи

  1. Чи є числа: -7; -6; 0; 5 — розв'язками:

1) системи 2) сукупності

  1. На рисунках позначено множини розв’язків нерівностей системи. Чи є правильним запис множини розв’язків системи нерівностей?




1)

h:\66.png

Розв’язків немає




2)

h:\68.png

( 4; + ∞)



3)

h:\69.png

( -4; 1 ]



4)

h:\70.png

( - ∞; 6 ]






  1. Розв'яжіть нерівність:

1) 7х > 6; 2) –х > -8; 3) –х < 0; 4) х > -8; 5) < -12; 6) > 1,5.

  1. Розв'яжіть систему нерівностей:

1) 2) 3) 4) 5) 6)

Пригадайте:

  • Чому дорівнює модуль додатного числа?

  • А від’ємного числа?

  • Чому дорівнює модуль числа, яке позначене на координатній прямій?

Пропоную учням дати алгебраїчну та геометричну інтерпретацію поняття модуля та розв’язати рівняння:

│x│= 4;

f:\32.png

│x – 1│= 2.


f:\38.png

Формулюємо означення модуля числа.


Означення. Модулем числа а називають відстань від точки, яка зображує число а на координатній прямій, до початку відліку.

Позначають:│а│.

З означення модуля випливає, що │а│.


  • Що потрібно знати, щоб «розкрити модуль» числа? ( знак числа)

Тренувальні вправи.

Приклад.

│5│= 5; │- 5│= - ( - 5 ) = 5.

Розкрити модуль: а) │π-3│ ( = π-3, оскільки π>3)

б) │ π-4│ ( = 4-π, оскільки π < 4)

в) │3x-2│( = ).

Які властивості модуля ви можете сформулювати?

Учні самостійно формулюють властивості, роблячи записи на дошці.
Властивості модуля:


  1. а│≥0;

  2. а│=│-а│;

  3. якщо │а│=│в│, то а=в або а= -в;

  4. якщо │а│=в, то в>0 і а=в або а= -в.

Назвати кілька чисел, що задовольняють умову:

1) | x | = 2; 2) | x | > 2; 3) | х | < 2.


V. Повідомлення теми і завдань уроку.

Нерівність │x│< а, та нерівність │x│≤ а.

Приклади:

1). Якщо x =6, а=1, то

|6-1|=5 – відстань між точками 6 і 1

2). Якщо х=-7, а=4, то

|-7-4|=|-11|=11 – відстань між точками -7 і 4



Теорема. Нерівність виду │x│< а рівносильна системі



Доведення. Якщо а ≤ 0, то нерівність розв’язків не має.

Якщо а > 0, то, розкривши модуль, можна записати, що задана нерівність рівносильна сукупності двох систем:

. Звідси випливає: 0 ≤ x < а, –а Геометрично нерівність │x│< а, де а > о, означає, що відстань від точки з координатою х до точки 0 менша від а.

Отже, -а < x < а. Цю властивість мають точки x (а; а).


- Чому рівносильна нерівність │x│≤ а?


Учні доводять самостійно.

h:\55.png

Нерівність |х|≤5, або |х-0|≤5, означає, що відстань від точки з координатою х до точки 0 не більша від 5, тобто не перевищує 5. Таку властивість мають усі точки х, що належать проміжку [-5; 5]. Отже, нерівність |х|≤5 рівносильна подвійній нерівності -5≤x≤5.




Приклад 1.

Розв’яжіть нерівність:

|x – 1| < 3;



f:\39.png
x (-2; 4).
Приклад 2.(Робота в парах)

Розв’яжіть нерівність: │7x- 8│≤ 2.



x .

Відповідь: .
Нерівність виду │x│> а та │x│≥ а.

Теорема. Нерівність виду │x│> а рівносильна сукупності нерівностей

.

Доведення.

Якщо а = 0, то множиною розв’язків як даної нерівності, так і сукупності є множина (-∞; 0) (0; ). Якщо а < 0, то множиною розв’язків нерівності є множина (- ∞; + ∞). Якщо а > 0, то розкривши модуль, то нерівність рівносильна сукупності двох систем:







h:\геометрія\41.png

Зауважимо, що для випадку, коли а > 0, довести теорему можна використовуючи геометричну інтерпретацію:

нерівність │х│> а, і сукупність задовольняють координати тих і тільки тих точок координатної прямої, які віддалені від початку координат на відстань, більшу за а.

Пропоную довести самостійно │х│ а рівносильна сукупності

Нерівність :│х│≥ 5. h:\65.png
Приклад 3.

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_1/59_src/59_image086.png

Розв’язання

Згідно з 1-им способом розв’язування нерівностей з модулем випливає, що http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_1/59_src/59_image088.png і http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_1/59_src/59_image090.png, тобто

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_1/59_src/59_image092.png   .

f:\36.png

Відповідь:    .
Приклад 4. (самостійно)

Розв’язати нерівність та вказати найменший натуральний розв’якок:

│4x - 3│> 5.

Розв’язання. Задана нерівність рівносильна сукупності нерівностей





Звідси x > 2 і x <0,5.



f:\35.png

Найменше натуральне число, що є розв’язком нерівності -- 3.

Відповідь: (- ∞; 0,5) ( 2; +∞ ); 3.
Приклад 5.

Знайти множину розв’язків нерівності: │4x-3│> -5.

Відповідь: ( -∞; +∞ ).
Приклад 6.

Знайти суму цілих розв’язків нерівності:││x-3│-4 │< 3.

Розв’язання.

Що означає розв’язати нерівність? (знайти всі її розв’язки або довести, що їх немає).

Що спочатку потрібно зробити, щоб отримати результат?

Учні пропонують способи розв’язання.

Нерівність рівносильна системі двох нерівностей,


Зокрема, перша нерівність системи рівносильна системі а друга сукупності нерівностей

Розв’язком першої системи є проміжок (- 4; 10 ), а сукупності: ( -∞; 2 )

(4; + ∞).



f:\37.png

Знайшовши переріз цих множин, одержимо розв’язок нерівності

x(-4; 2 ) ( 4; 10).

Цілі розв’язки нерівності: -3; -2; -1; 0; 1; 5; 6; 7; 8; 9. Сума рівна 30.

Відповідь: 30.
Короткотривала самостійна робота (учні в парах; обмінюються зошитами для перевірки)

Розв’язати нерівність:

Варіант І. ││x│+ 3 │< 5 ( x ( -2; 2) ).

Варіант ІІ. ││x│- 2 │> 8 ( x ( -∞; - 10 ) ( 10; + ∞)).


VІ. Завдання додому

А.Г. Мерзляк та інші. Алгебра 8 кл. Поглиблене вивчення математики

§4 п. 25 № 25.11; 25.22.
VІІ. Підсумок уроку

Рефлексія. Якими знаннями ви сьогодні збагатилися?

Що нового дізналися під час вивчення цієї теми?



З якими труднощами зустрілися під час уроку?


База даних захищена авторським правом ©refs.in.ua 2016
звернутися до адміністрації

    Головна сторінка