Таврійський вісник освіти



Сторінка16/19
Дата конвертації09.03.2016
Розмір3.14 Mb.
1   ...   11   12   13   14   15   16   17   18   19

План


1. Організаційний момент.

2. Обговорення статей

3. Пояснення нового матеріалу.

4. Колективне розв'язування вправ.

5. Постановка завдання над ом.

Література:


  1. Призва Г.Й. Функціональні співвідношення. - В кн.: У світі математики. – К.: Рад. школа, 1979. - вип.10. - С.5-71.

  2. Смишляєв В.К., Смишляєва М.В. Найпростіші функціональні рівняння. В кн. У світі математики. – К.: Рад.школа, 1978. - вип.9. - С.203-211.

2. При обговоренні статті, заданої додому, вчителю слід звернути увагу на те, як учні зрозуміли поняття "функціональне рівняння". Навести приклади функціональних рівнянь на точному означені уваги можна не загостряти.

3. Мотивація учня.

На попередньому уроці ми бачили, що можна задавати ті чи інші функціональні співвідношення, які повністю характеризують певні важливі властивості функцій. Цікавішими, однак, є задачі, в яких, виходячи з одного або кількох заданих функціональних співвідношень – функціональних рівнянь, можна з'ясувати функції, що їх задовольняють.

Сприйняття нового матеріалу.

Розглянемо спочатку детально розв'язання такої задачі.

Умова. Знайти функцію з областю визначення , що задовольняє функціональному рівнянню:



(1)

Поклавши , дістанемо в результаті підстановки в (1)



.

Позначивши через , матимемо: (2)

Розв'язавши систему рівнянь (1)-(2), остаточно матимемо:

.

Ця функція з областю визначення справді задовольняє функціональне рівняння (9). Цей метод, яким ми розв'язали приклад, має назву метод підстановок.

Далі розв'язуються рівняння наведені у додатку 1.2, які розв'язуються за допомогою однієї підстановки.

Потім вчитель зауважує, що розв'язуючи попередні рівняння виконувалась якась одна нескладна підстановка. У складніших випадках підстановки не таку очевидні, причому іноді їх кілька. І наводить наступний приклад, в якому використовується декілька підстановок.



Приклад. Знайти функцію / з областю визначення , що задовольняє функціональне рівняння

(3)

Поклавши , і, отже, , звідки , дістанемо при підстановці в (3): Позначивши t через x, матимемо: (4).

Поклавши в (3) і, отже, и – 1 = их, звідки , дістанемо з урахуванням того, що при підстановці в (3)

, позначивши и через х , матимемо:

(5)

Розв'язуючи систему рівнянь (3)-(5), додавши, наприклад перші два з них і віднявши третє, дістанемо:



(6)

Отже, шукана функція f з областю визначення D(f) = R\{0;1}, яка справді задовольняє (3), має вигляд (6).

Далі розв'язуються приклади з використанням декількох підстановок (див. додаток)/

Декілька рівнянь з додатку можна задати додому для самостійного розв'язування.



Заняття №3.

Тема: "Спосіб невизначених коефіцієнтів".

Дидактична мета: ознайомити учнів з розв'язуванням функціональних рівнянь способом невизначених коефіцієнтів.

План


1. Організаційний момент.

2. Актуалізація опорних знань

3. Пояснення нового матеріалу.

4. Колективне розв'язування вправ.

5. Постановка завдання додому.

2. Перед розглядом нової теми слід згадати загальний вигляд всіх відомих учням функцій, прийоми знаходження коефіцієнтів многочлену за допомогою методів невизначених коефіцієнтів.

3. Демонстрацію метода невизначених коефіцієнтів слід розпочати з наступного зауваження.

Даний метод використовується тоді коли, по-перше, можна передбачити загальний вид невідомої функції, по-друге, він дає можливість будувати частинні розв'язки функціональних рівнянь і лише іноді його досить, щоб знайти всі розв'язки функціонального рівняння.

Далі слід розглянути розв'язування слідуючи рівнянь.

1. (7)

Оскільки в лівій частині рівності над незалежною змінною х і залежною змінною f виконуються тільки лінійні операції, результатом яких є квадратична функція х2, що знаходиться у правій частині рівності цілком логічно припустити, що шукана функція f є також квадратичною функцією, тобто

f(х)=ах2 + bх + с, (8)

де а,b,с – коефіцієнти, які належить визначити, тобто невизначені коефіцієнти. З того, що функція має бути розв'язком рівняння (7), випливає тотожність 2(ax2 + bх+ с) + а(1 - х)2 + b( 1- х) + с ≡ х2, яка після перетворень у лівій частині, набуває вигляд 3ах2 + (b - 2а )х + а + b + Зс ≡ х2.

Одержана рівність двох многочленів буде виконуватись тоді, коли коефіцієнти біля однакових степенів змінної х будуть рівні, тобто

За = 1,



-2а + b = 0,

а + b + Зс = 0.

З одержаної системи рівнянь знаходимо коефіцієнти функції (8)

У такий спосіб ми знайшли функцію f(х) = 2 + 2х – 1), яка є розв'язком рівняння (7). Однак стверджувати, що рівняння розв'язане повністю не можна, бо не виключена можливість, що є й інші функції, які справджують рівність (7).

2. Функція у=f(х) для всіх хR визначена, неперервна і задовольняє умову



f(f(х)) = f(х) + х (9)

Знайти дві такі функції.

Запишемо рівняння так

f(f(х)) – f(х) = х (10)

Над шуканою функцією виконуються дві дії – операція утворення складеної функції і віднімання. Зазначимо, що серед найпростіших елементарних функцій є лінійна функція f(х)=aх+b і дробово-лінійна функція , які в результаті утворення складеної функції знову дають відповідно лінійну і дробово-лінійну функцію.

Зважаючи на те, що права частина рівності (10) є лінійною функцією, доречно функцією у=f(х) шукати серед лінійних функцій тобто f(х)=ах+b, де а і b – невизначені коефіцієнти. Підставляючи цю функцію в рівність (10) і виконуючи перетворення, одержуємо рівність 2 – а)х + аb = х, яка повинна виконуватись для всіх хR . Це можливо тільки тоді, коли

а2 – а = 1


аb = 0.

Звідси знаходимо .

Таким чином знайдемо дві неперервні функції , , які є розв'язками функціонального рівняння (9).

4. Після розв'язування рівнянь на закріплення нового методу вчитель повинен задати повторити поняття рекурентної послідовності на методи розв'язування системи лінійних рівнянь для наступного заняття.


Заняття №4.

Тема: "Використання рекурентних послідовностей у розв'язуванні функціональних рівнянь".

Дидактична мета: навчити використовувати рекурентні послідовності у розв'язанні функціональних рівнянь.

План.

1. Організаційний момент.

2. Актуалізація опорних знань.

3. Пояснення нового матеріалу.

4. Колективне розв'язування вправ.

5. Постановка завдання додому.

2. Актуалізуються поняття рекурентної послідовності, методи розв'язування системи рівнянь, неперервної функції, метод підстановок для функціональних рівнянь.

3. Пояснення нового матеріалу можна побудувати таким чином.


При розв'язуванні функціональних рівнянь вигляду


аf(х)+bf(φ(х))=с, хХ R, (11)

де а,b,с – відомі сталі, або змінні величини, φ – відома функція, fшукана функція, х – множина, яка визначається залежно від а,b,с і φ, найчастіше використовують підстановки, які зводять ці рівняння до системи лінійних рівнянь. Зокрема, рівняння (7) підстановкою х → 1 – х зводиться до системи двох рівнянь:

2f(х) + f(1 – х) = х2

2f(1 – х) + f(х) = (1 – х)2,

яка дає змогу визначити функцію
f(х) = 2 + 2х – 1), що є єдиним розв'язком цього рівняння.

Залучимо до розв'язку таких функціональних рівнянь рекурентні послідовності. Забігаючи наперед, зазначимо, що рекурентні послідовності можуть допомогти вдало вибрати підстановки, які розв'язування функціонального рівняння зведуть до розв'язування системи лінійних рівнянь, підкажуть про можливість застосування методу граничного переходу, іноді дозволять обійти застосування груп або матриць.

Побудуємо рекурентну послідовність n), в якій x1 – деяке число з множини х, хn+1 = φ n)для n = 1,2,.... Нехай послідовність n) періодична з періодом р, тобто хn+p = хn nN.

Тоді підстановки х=х1, х=х2,...,х=xр функціональне рівняння (11) зводиться до системи р лінійних рівнянь.



a1f(x1)+b1f(х2)=c1,

a2f(x2)+b2f(х3)=c2,

………………………



apf(xp)+b1f(х1)=cp,

з р невідомими f(х1), f(х2),..., f(xp), де а1 = a(х1); ), b1 = b(х1), с1 = с(х1), і = 1,2,.. .,р. І вже одержану систему можна розв'язувати методом підстановок або методом алгебраїчного додавання. Проте найбільш зручно їх розв'язувати методом Крамера.

Вправи, які доцільно розв'язати містяться у додатку П.4.

5. Я.С.Бродський, А.К.Слипенко. Фукциональные уравнения. – Киев: Главное издательство обьединения "Вища школа", 1983. – 95с. (стр. 84-89).



Заняття №5.

Тема "Розв'язування функціональних рівнянь з застосуванням елементів математичного аналізу".

Дидактична мета: навчити учнів використовувати знання математичного аналізу при розв'язуванні функціональних рівнянь.

План.

1. Організаційний момент.

2. Актуалізація опорних знань.

3. Пояснення нового матеріалу.

4. Колективне розв'язування вправ.

5. Постановка завдання додому.

Актуалізація:

- похідна , формули похідних;

- неперервна функція і її властивості;

- граничний перехід.



Література.

1. Я.С.Бродський, А.К.Слипенко. Функциональные уравнения. – Киев: Головное издательство издательского обьединения "Вища школа", 1983. - 95с. (стр.58-73).



Заняття №6.

Тема: "Розв'язування олімпіадних функціональних рівнянь".

1. Е.А.Морозова, И.С.Петраков, В.А. Скворцов. Международные математические олимпиады. Пособие для учащихся. – М.: Просвещение, 1976.

2. Зарубежные математические олимпиады. – М.: Наука, 1987.

1   ...   11   12   13   14   15   16   17   18   19


База даних захищена авторським правом ©refs.in.ua 2016
звернутися до адміністрації

    Головна сторінка